В треугольнике MNK угол M=45°, угол N=30°, NK=√2. Найти MK

Для решения задачи воспользуемся синусами.

В треугольнике \( MNK \) известны углы \( M \) и \( N \), а также сторона \( NK \). Углы треугольника в сумме равны 180°. Таким образом, угол \( K \) можно найти следующим образом:

\[ K = 180° - M - N = 180° - 45° - 30° = 105°. \]

Теперь используем теорему синусов, которая гласит:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}, \]

где \( a, b, c \) — стороны треугольника, а \( A, B, C \) — противолежащие им углы соответственно.

Обозначим:

• \( a = MK \) (сторона, которую нужно найти),
• \( b = MN \),
• \( c = NK = \sqrt{2} \).

В нашем случае:

\[ \frac{MK}{\sin 30°} = \frac{NK}{\sin 105°}. \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{MK}{\sin 30°} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 105°}. \]

Зная, что \( \sin 30° = \frac{1}{2} \) и \( \sin 105° = \sin (90° + 15°) = \cos 15° \), можем воспользоваться формулой для \( \cos 15° \):

\[ \cos 15° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. \]

Теперь подставим эти значения в уравнение:

\[ \frac{MK}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}. \]

Умножим обе стороны на \( \frac{1}{2} \):

\[ MK = \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \cdot \frac{1}{2}. \]

Упрощаем:

\[ MK = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}. \]

Теперь можно умножить числитель и знаменатель на \( \sqrt{6} - \sqrt{2} \) (для рационализации):

\[ MK = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2}. \]

Таким образом, \( MK = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \).

Теперь возьмем приблизительное значение:

\[ \sqrt{2} \approx 1.414, \quad \sqrt{6} \approx 2.449. \]

Подсчитаем:

\[ MK \approx \frac{1.414(2.449 - 1.414)}{2} = \frac{1.414 \cdot 1.035}{2} \approx \frac{1.465}{2} \approx 0.733. \]

Это значение можно оставить в виде дроби или как приближенное, в зависимости от требований задачи. Исходя из формулы, окончательный результат:

\[ MK = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2}. \]