Сравните 10²⁰ и 110¹⁰

Чтобы сравнить \( 10^{20} \) и \( 110^{10} \), давайте начнем с приведения их к общему логарифмическому виду, чтобы проще было оценить величины. Перепишем \( 110^{10} \): \[ 110^{10} = (10 \cdot 11)^{10} = 10^{10} \cdot 11^{10} \] Теперь можно сравнить: \[ 10^{20} \quad \text{и} \quad 10^{10} \cdot 11^{10} \] Для удобства расчета извлечем \( 10^{10} \): \[ 10^{20} = 10^{10} \cdot 10^{10} \] Теперь сравним \( 10^{10} \cdot 10^{10} \) и \( 10^{10} \cdot 11^{10} \). Разделим обе части на \( 10^{10} \) (при этом сумма не изменится, так как \( 10^{10} \) положителен): \[ 10^{10} \quad \text{и} \quad 11^{10} \] Теперь сравним \( 10^{10} \) и \( 11^{10} \). Поскольку \( 11 > 10 \), мы знаем, что: \[ 11^{10} > 10^{10} \] Это означает, что: \[ 10^{20} < 110^{10} \] Таким образом, мы приходим к выводу: \[ 10^{20} < 110^{10} \]