Задача 3. Нарисуйте несколько плоских графов с семью вершинами. Проверьте, выполняется ли для каждого из этих графов формула Эйлера.
Формула Эйлера для плоских графов гласит, что для любого плоского графа с \( V \) вершинами, \( E \) рёбрами и \( F \) границами выполняется следующее равенство:
\[ V - E + F = 2 \]
Где:
- \( V \) — количество вершин.
- \( E \) — количество рёбер.
- \( F \) — количество граней (включая внешнюю грань).
Теперь рассмотрим несколько примеров плоских графов с семью вершинами и проверим выполнение формулы Эйлера.
Граф 1: Треугольная решетка
- Вершины (V): 7
- Рёбра (E): 12
- Грани (F): 5 (внешняя грань + 4 треугольных)
Проверка формулы Эйлера: \[ 7 - 12 + 5 = 0 \quad (\text{не выполняется}) \]
Граф 2: Звезда
Граф, в котором одна центральная вершина соединена с 6 другими.
- Вершины (V): 7
- Рёбра (E): 6
- Грани (F): 2 (внешняя грань + внутренняя грань вокруг центральной вершины)
Проверка формулы Эйлера: \[ 7 - 6 + 2 = 3 \quad (\text{не выполняется}) \]
Граф 3: Квадрат с диагоналями
Граф, в котором 4 вершины образуют квадрат, а также имеется 3 дополнительных вершины внутри, соединенные с вершинами квадрата.
- Вершины (V): 7
- Рёбра (E): 10
- Грани (F): 5 (внешняя грань + 4 внутренние)
Проверка формулы Эйлера: \[ 7 - 10 + 5 = 2 \quad (\text{выполняется}) \]
Граф 4: Простая связная сеть
Граф с 7 вершинами и 8 рёбрами, где все вершины соединены так, чтобы образовать одну связанную структуру.
- Вершины (V): 7
- Рёбра (E): 8
- Грани (F): 4 (внешняя + 3 внутренних)
Проверка формулы Эйлера: \[ 7 - 8 + 4 = 3 \quad (\text{не выполняется}) \]
Вывод
Из четырёх рассмотренных графов только один (граф 3) выполняет формулу Эйлера. Это показывает, что не все графы с 7 вершинами будут автоматически удовлетворять этой формуле, если не будут соблюдать условия для плоских графов.
