420 Проверьте, что знаменатель д данной геометрической про- грессии удовлетворяет условию 9 <1, и найдите сумму этой прогрессии: a) 9; 3; 1; ...; г) sqrt(3); - 1; 1/(sqrt(3)) 6)…

Для того чтобы проверить, удовлетворяет ли знаменатель \( q \) (коэффициент геометрической прогрессии) условию \( |q| < 1 \) и найти сумму геометрической прогрессии, используем формулу:

\[ S = \frac{a_1}{1 - q} \]

где \( S \) — сумма прогрессии, \( a_1 \) — первый член прогрессии, \( q \) — знаменатель прогрессии.

Теперь проверим каждую из предложенных прогрессий:

(a) \( 9; 3; 1; ... \)

1. Первый член \( a_1 = 9 \).
2. Знаменатель \( q = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \) (второй член делим на первый).
3. Проверка: \( |q| = \frac{1}{3} < 1 \).
4. Сумма:

\[ S = \frac{9}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{2}{3}} = 9 \cdot \frac{3}{2} = \frac{27}{2}. \]

(г) \( \sqrt{3}; -1; \frac{1}{\sqrt{3}}; ... \)

1. Первый член \( a_1 = \sqrt{3} \).
2. Знаменатель \( q = \frac{-1}{\sqrt{3}} \).
3. Проверка: \( |q| = \frac{1}{\sqrt{3}} < 1 \).
4. Сумма:

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{1 - \frac{-1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3}{\sqrt{3} + 1}. \]

(6) \( 2; -\frac{1}{2}; \frac{1}{8}; ... \)

1. Первый член \( a_1 = 2 \).
2. Знаменатель \( q = \frac{-\frac{1}{2}}{2} = -\frac{1}{4} \).
3. Проверка: \( |q| = \frac{1}{4} < 1 \).
4. Сумма:

\[ S = \frac{2}{1 - (-\frac{1}{4})} = \frac{2}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{2}{\frac{5}{4}} = 2 \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{5}. \]

(д) \( \frac{2}{2}; 2; \sqrt{2}; ... \)

1. Первый член \( a_1 = 1 \).
2. Знаменатель \( q = \frac{2}{1} = 2 \).
3. Проверка: \( |q| = 2 \not< 1 \).
   • Сумму не можем найти, так как условие не выполнено.

(B) \( \frac{4}{5}; 4; \frac{4}{125}; ... \)

1. Первый член \( a_1 = \frac{4}{5} \).
2. Знаменатель \( q = \frac{4}{\frac{4}{5}} = 5 \).
3. Проверка: \( |q| = 5 \not< 1 \).
   • Сумму не можем найти, так как условие не выполнено.

(e) \( 3\sqrt{5}; 3; \frac{3\sqrt{5}}{5}; ... \)

1. Первый член \( a_1 = 3\sqrt{5} \).
2. Знаменатель \( q = \frac{3}{3\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \).
3. Проверка: \( |q| = \frac{1}{\sqrt{5}} < 1 \).
4. Сумма:

\[ S = \frac{3\sqrt{5}}{1 - \frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{3\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5}}} = \frac{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} - 1} = \frac{15}{\sqrt{5} - 1}. \]

Итоги:

• (a) \( S = \frac{27}{2} \)
• (г) \( S = \frac{3}{\sqrt{3} + 1} \)
• (6) \( S = \frac{8}{5} \)
• (д) Не выполнено условие.
• (B) Не выполнено условие.
• (e) \( S = \frac{15}{\sqrt{5} - 1} \)

Если вам нужно разъяснение по какой-либо из прогрессий или дополнительная информация, дайте знать!