Для того чтобы проверить, удовлетворяет ли знаменатель ( q ) (коэффициент геометрической прогрессии) условию ( |q| < 1 ) и найти сумму геометрической прогрессии, используем формулу:
[
S = \frac{a_1}{1 - q}
]
где ( S ) — сумма прогрессии, ( a_1 ) — первый член прогрессии, ( q ) — знаменатель прогрессии.
Теперь проверим каждую из предложенных прогрессий:
(a) ( 9; 3; 1; ... )
- Первый член ( a_1 = 9 ).
- Знаменатель ( q = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} ) (второй член делим на первый).
- Проверка: ( |q| = \frac{1}{3} < 1 ).
- Сумма:
[
S = \frac{9}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{2}{3}} = 9 \cdot \frac{3}{2} = \frac{27}{2}.
]
(г) ( \sqrt{3}; -1; \frac{1}{\sqrt{3}}; ... )
- Первый член ( a_1 = \sqrt{3} ).
- Знаменатель ( q = \frac{-1}{\sqrt{3}} ).
- Проверка: ( |q| = \frac{1}{\sqrt{3}} < 1 ).
- Сумма:
[
S = \frac{\sqrt{3}}{1 - \frac{-1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3}{\sqrt{3} + 1}.
]
(6) ( 2; -\frac{1}{2}; \frac{1}{8}; ... )
- Первый член ( a_1 = 2 ).
- Знаменатель ( q = \frac{-\frac{1}{2}}{2} = -\frac{1}{4} ).
- Проверка: ( |q| = \frac{1}{4} < 1 ).
- Сумма:
[
S = \frac{2}{1 - (-\frac{1}{4})} = \frac{2}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{2}{\frac{5}{4}} = 2 \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{5}.
]
(д) ( \frac{2}{2}; 2; \sqrt{2}; ... )
- Первый член ( a_1 = 1 ).
- Знаменатель ( q = \frac{2}{1} = 2 ).
- Проверка: ( |q| = 2 \not< 1 ).
- Сумму не можем найти, так как условие не выполнено.
(B) ( \frac{4}{5}; 4; \frac{4}{125}; ... )
- Первый член ( a_1 = \frac{4}{5} ).
- Знаменатель ( q = \frac{4}{\frac{4}{5}} = 5 ).
- Проверка: ( |q| = 5 \not< 1 ).
- Сумму не можем найти, так как условие не выполнено.
(e) ( 3\sqrt{5}; 3; \frac{3\sqrt{5}}{5}; ... )
- Первый член ( a_1 = 3\sqrt{5} ).
- Знаменатель ( q = \frac{3}{3\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} ).
- Проверка: ( |q| = \frac{1}{\sqrt{5}} < 1 ).
- Сумма:
[
S = \frac{3\sqrt{5}}{1 - \frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{3\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5}}} = \frac{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} - 1} = \frac{15}{\sqrt{5} - 1}.
]
Итоги:
- (a) ( S = \frac{27}{2} )
- (г) ( S = \frac{3}{\sqrt{3} + 1} )
- (6) ( S = \frac{8}{5} )
- (д) Не выполнено условие.
- (B) Не выполнено условие.
- (e) ( S = \frac{15}{\sqrt{5} - 1} )
Если вам нужно разъяснение по какой-либо из прогрессий или дополнительная информация, дайте знать!
