Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 20, а высота равна 1. Найдите длину апофема пирамиды

Объем правильной четырехугольной пирамиды (пирамиды с квадратным основанием) можно вычислить по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} S_b h, \]

где \( V \) — объем пирамиды, \( S_b \) — площадь основания, а \( h \) — высота пирамиды.

В данном случае объем \( V = 20 \), а высота \( h = 1 \). Подставим известные значения в формулу:

\[ 20 = \frac{1}{3} S_b \cdot 1. \]

Отсюда получаем:

\[ S_b = 20 \cdot 3 = 60. \]

Поскольку основание пирамиды — квадрат, площадь основания можно представить как \( S_b = a^2 \), где \( a \) — длина стороны квадрата. Таким образом, мы имеем:

\[ a^2 = 60 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}. \]

Теперь найдём апофему пирамиды. Апофема \( l \) связана с высотой \( h \) и половиной длины стороны основания \( \frac{a}{2} \) (основание треугольника, образованного высотой и апофемой) через теорему Пифагора:

\[ l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}. \]

Сначала находим \( \frac{a}{2} \):

\[ \frac{a}{2} = \frac{2\sqrt{15}}{2} = \sqrt{15}. \]

Теперь подставляем все значения в формулу для нахождения апофемы:

\[ l = \sqrt{1^2 + (\sqrt{15})^2} = \sqrt{1 + 15} = \sqrt{16} = 4. \]

Таким образом, длина апофемы пирамиды равна \( 4 \).