Объем правильной четырехугольной пирамиды (пирамиды с квадратным основанием) можно вычислить по формуле:
[
V = \frac{1}{3} S_b h,
]
где ( V ) — объем пирамиды, ( S_b ) — площадь основания, а ( h ) — высота пирамиды.
В данном случае объем ( V = 20 ), а высота ( h = 1 ). Подставим известные значения в формулу:
[
20 = \frac{1}{3} S_b \cdot 1.
]
Отсюда получаем:
[
S_b = 20 \cdot 3 = 60.
]
Поскольку основание пирамиды — квадрат, площадь основания можно представить как ( S_b = a^2 ), где ( a ) — длина стороны квадрата. Таким образом, мы имеем:
[
a^2 = 60 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}.
]
Теперь найдём апофему пирамиды. Апофема ( l ) связана с высотой ( h ) и половиной длины стороны основания ( \frac{a}{2} ) (основание треугольника, образованного высотой и апофемой) через теорему Пифагора:
[
l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}.
]
Сначала находим ( \frac{a}{2} ):
[
\frac{a}{2} = \frac{2\sqrt{15}}{2} = \sqrt{15}.
]
Теперь подставляем все значения в формулу для нахождения апофемы:
[
l = \sqrt{1^2 + (\sqrt{15})^2} = \sqrt{1 + 15} = \sqrt{16} = 4.
]
Таким образом, длина апофемы пирамиды равна ( 4 ).
