Обозначим:
- ( A_1 ): событие, что сок из первого производителя.
- ( A_2 ): событие, что сок из второго производителя.
- ( B ): событие, что сок яблочный.
Согласно условию, у нас есть следующие данные:
- Вероятность, что сок из первого производителя: ( P(A_1) ).
- Вероятность, что сок из второго производителя: ( P(A_2) ).
- Вероятность, что сок от первого производителя — яблочный: ( P(B | A_1) = 0.92 ).
- Вероятность, что сок от второго производителя — яблочный: ( P(B | A_2) = 0.12 ).
Сначала определим ( P(A_1) ) и ( P(A_2) ). Поскольку конкретные доли закупки не указаны, предположим, что школа закупает сок поровну от обоих производителей:
[
P(A_1) = P(A_2) = 0.5
]
Далее, нам также известно, что 72% всего сока является яблочным, то есть ( P(B) = 0.72 ).
Согласно формуле полной вероятности:
[
P(B) = P(B | A_1) P(A_1) + P(B | A_2) P(A_2)
]
Подставим известные значения:
[
0.72 = 0.92 \cdot 0.5 + 0.12 \cdot 0.5
]
Посчитаем правую часть:
[
0.72 = 0.46 + 0.06
]
[
0.72 = 0.52
]
Мы получили, что ( P(B) = 0.52 ), что не соответствует нашему предположению о равной пропорции поставок.
Теперь, давайте попробуем найти фактическими расчетами, какова доля сока от первого производителя.
Обозначим:
- ( x ): доля сока от первого производителя.
- Следовательно, доля сока от второго производителя ( 1 - x ).
Итак, справедливость общей формулы вероятностей остается:
[
0.72 = 0.92x + 0.12(1 - x)
]
Раскроем скобки:
[
0.72 = 0.92x + 0.12 - 0.12x
]
Сложим похожие слагаемые:
[
0.72 = (0.92 - 0.12)x + 0.12
]
[
0.72 - 0.12 = 0.80x
]
[
0.60 = 0.80x
]
Теперь решим уравнение для ( x ):
[
x = \frac{0.60}{0.80} = 0.75
]
Таким образом, ( P(A_1) = 0.75 ), а ( P(A_2) = 1 - P(A_1) = 0.25 ).
Теперь мы нашли вероятность того, что случайная упаковка сока, выданная школьнику, будет от первого производителя:
[
P(A_1) = 0.75.
]
Ответ: вероятность того, что случайная упаковка сока окажется от первого производителя, равна 0.75 или 75%.
