1. Один из катетов прямоугольного треугольника на 2 см больше другого, а гипотенуза равна 10 см. Найдите катеты этого треугольника.
Обозначим один из катетов прямоугольного треугольника как \( x \) см. Тогда другой катет будет равен \( x + 2 \) см. Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
\[ x^2 + (x + 2)^2 = 10^2. \]
Раскроим скобки:
\[ x^2 + (x^2 + 4x + 4) = 100. \]
Соберем все в одну сторону:
\[ 2x^2 + 4x + 4 - 100 = 0, \] \[ 2x^2 + 4x - 96 = 0. \]
Упростим уравнение:
\[ x^2 + 2x - 48 = 0. \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196. \]
Теперь найдем корни уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 14}{2}. \]
Таким образом, получаем два значения для \( x \):
- \( x = \frac{12}{2} = 6 \);
- \( x = \frac{-16}{2} = -8 \) (это значение не подходит, так как длина катета не может быть отрицательной).
Следовательно, первый катет \( x = 6 \) см, а второй катет:
\[ x + 2 = 6 + 2 = 8 \text{ см}. \]
Таким образом, катеты прямоугольного треугольника: 6 см и 8 см.
