Обозначим один из катетов прямоугольного треугольника как ( x ) см. Тогда другой катет будет равен ( x + 2 ) см. Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
[
x^2 + (x + 2)^2 = 10^2.
]
Раскроим скобки:
[
x^2 + (x^2 + 4x + 4) = 100.
]
Соберем все в одну сторону:
[
2x^2 + 4x + 4 - 100 = 0,
]
[
2x^2 + 4x - 96 = 0.
]
Упростим уравнение:
[
x^2 + 2x - 48 = 0.
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196.
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 14}{2}.
]
Таким образом, получаем два значения для ( x ):
- ( x = \frac{12}{2} = 6 );
- ( x = \frac{-16}{2} = -8 ) (это значение не подходит, так как длина катета не может быть отрицательной).
Следовательно, первый катет ( x = 6 ) см, а второй катет:
[
x + 2 = 6 + 2 = 8 \text{ см}.
]
Таким образом, катеты прямоугольного треугольника: 6 см и 8 см.
