- Для решения задачи о спортсменах следует учесть взаимное движение тренера и спортсменов. Колонна спортсменов имеет длину ( l = 200 , \text{м} ), скорость спортсменов ( v = 10 , \text{м/с} ), а скорость тренера ( v_t = 8 , \text{м/с} ).
Когда тренер встречает спортсменов, он проходит длину колонны, а спортсмены разворачиваются и бегут назад. Скорость сближения тренера и спортсменов создаёт ситуацию, в которой тренер движется навстречу спортсменам.
Сначала посчитаем время ( t ), необходимое тренеру, чтобы пройти всю длину колонны:
[
t = \frac{l}{v + v_t} = \frac{200 , \text{м}}{10 , \text{м/с} + 8 , \text{м/с}} = \frac{200}{18} \approx 11.11 , \text{с}.
]
За это время все спортсмены доразворачиваются. Каждый спортсмен бежит со скоростью 10 м/с обратно. Таким образом, во время ( t ) все спортсмены пройдут назад:
[
\text{Общая длина, которую пробегут спортсмены} = 10 , \text{м/с} \times t \approx 10 \times 11.11 \approx 111.1 , \text{м}.
]
Когда все спортсмены развернутся, новая длина колонны будет составлять из исходной длины и длины, на которую они пробегут назад:
[
l' = l + \text{длина, пробегаемая спортсменами} = 200 , \text{м} + 111.1 , \text{м} \approx 311.1 , \text{м}.
]
- Для задачи с дайвбомбером используем уравнение движения бомбы. Высота, с которой сбрасывается бомба, составляет ( h = 2.15 , \text{км} = 2150 , \text{м} ). Дистанция до цели ( R = 3.25 , \text{км} = 3250 , \text{м} ). Скорость бомбы ( v_0 = 280 , \text{м/с} ) под углом ( \theta ).
Сначала можно вычислить время ( t ) падения бомбы с высоты ( h ) до земли:
[
h = \frac{1}{2} g t^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2h}{g}},
]
где ( g \approx 9.81 , \text{м/с}^2 ). Подставляя высоту:
[
t = \sqrt{\frac{2 \cdot 2150}{9.81}} \approx \sqrt{438.57} \approx 20.93 , \text{с}.
]
Теперь найдем горизонтальную составляющую скорости, которая связана с углом ( \theta ):
[
R = v_0 \cdot \cos(\theta) \cdot t \Rightarrow \cos(\theta) = \frac{R}{v_0 \cdot t},
]
Подставляем известные значения:
[
\cos(\theta) = \frac{3250}{280 \cdot 20.93} \approx \frac{3250}{5860.4} \approx 0.553.
]
Теперь найдём угол:
[
\theta = \cos^{-1}(0.553) \approx 56.5^\circ.
]
- Для стальной рельсы длиной 1 км, которая фиксирована в обоих концах, изменение температуры создаёт увеличение длины рельсы. Применим формулу для линейного расширения:
[
\Delta L = L_0 \cdot \alpha \cdot \Delta T,
]
где ( L_0 = 1000 , \text{м} ) (начальная длина рельсы), ( \alpha ) - коэффициент линейного расширения стали (примерно ( 12 \times 10^{-6} , \text{°C}^{-1} )), и ( \Delta T = 25 , \text{°C} - 20 , \text{°C} = 5 , \text{°C} ).
Подставляем значения:
[
\Delta L = 1000 \cdot 12 \times 10^{-6} \cdot 5 = 0.060 , \text{м} = 60 , \text{мм}.
]
Вышеуказанное изменение длины создаёт изгиб рельсы в форму арки. Для этого высоту в центре дуги ( h ) можно определить, используя формулу и геометрию. Поскольку радиус кривизны ( R = \frac{L^2}{8h} ), можно записать:
[
h = \frac{L^2}{8R},
]
где ( L = 1000 , \text{м} ) и ( \Delta L = 0.060 , \text{м} ).
Чтобы высота равнялась 60 мм:
Когда рельса вырастет, радиус будет изменён, и высота центра дуги составит около 0.060 м.
Следовательно, высота ( h ) в центре дуги:
[
h \approx 0.060 , \text{м} = 60 , \text{мм}.
]
Таким образом, итоговые ответы:
- Длина колонны после разворота спортсменов: примерно 311.1 м.
- Угол θ: примерно 56.5°.
- Высота h в центре дуги: 60 мм.
