1.Спортсмены бегут колонной длины l = 200 м со скоростью v = 10 м/с. Навстречу бежит тренер ср скоростью и = 8 м/с. Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером, разворачивается и…

1. Для решения задачи о спортсменах следует учесть взаимное движение тренера и спортсменов. Колонна спортсменов имеет длину \( l = 200 \, \text{м} \), скорость спортсменов \( v = 10 \, \text{м/с} \), а скорость тренера \( v_t = 8 \, \text{м/с} \).

Когда тренер встречает спортсменов, он проходит длину колонны, а спортсмены разворачиваются и бегут назад. Скорость сближения тренера и спортсменов создаёт ситуацию, в которой тренер движется навстречу спортсменам.

Сначала посчитаем время \( t \), необходимое тренеру, чтобы пройти всю длину колонны:

\[ t = \frac{l}{v + v_t} = \frac{200 \, \text{м}}{10 \, \text{м/с} + 8 \, \text{м/с}} = \frac{200}{18} \approx 11.11 \, \text{с}. \]

За это время все спортсмены доразворачиваются. Каждый спортсмен бежит со скоростью 10 м/с обратно. Таким образом, во время \( t \) все спортсмены пройдут назад:

\[ \text{Общая длина, которую пробегут спортсмены} = 10 \, \text{м/с} \times t \approx 10 \times 11.11 \approx 111.1 \, \text{м}. \]

Когда все спортсмены развернутся, новая длина колонны будет составлять из исходной длины и длины, на которую они пробегут назад:

\[ l' = l + \text{длина, пробегаемая спортсменами} = 200 \, \text{м} + 111.1 \, \text{м} \approx 311.1 \, \text{м}. \]

2. Для задачи с дайвбомбером используем уравнение движения бомбы. Высота, с которой сбрасывается бомба, составляет \( h = 2.15 \, \text{км} = 2150 \, \text{м} \). Дистанция до цели \( R = 3.25 \, \text{км} = 3250 \, \text{м} \). Скорость бомбы \( v_0 = 280 \, \text{м/с} \) под углом \( \theta \).

Сначала можно вычислить время \( t \) падения бомбы с высоты \( h \) до земли:

\[ h = \frac{1}{2} g t^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2h}{g}}, \]

где \( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 \). Подставляя высоту:

\[ t = \sqrt{\frac{2 \cdot 2150}{9.81}} \approx \sqrt{438.57} \approx 20.93 \, \text{с}. \]

Теперь найдем горизонтальную составляющую скорости, которая связана с углом \( \theta \):

\[ R = v_0 \cdot \cos(\theta) \cdot t \Rightarrow \cos(\theta) = \frac{R}{v_0 \cdot t}, \]

Подставляем известные значения:

\[ \cos(\theta) = \frac{3250}{280 \cdot 20.93} \approx \frac{3250}{5860.4} \approx 0.553. \]

Теперь найдём угол:

\[ \theta = \cos^{-1}(0.553) \approx 56.5^\circ. \]

3. Для стальной рельсы длиной 1 км, которая фиксирована в обоих концах, изменение температуры создаёт увеличение длины рельсы. Применим формулу для линейного расширения:

\[ \Delta L = L_0 \cdot \alpha \cdot \Delta T, \]

где \( L_0 = 1000 \, \text{м} \) (начальная длина рельсы), \( \alpha \) - коэффициент линейного расширения стали (примерно \( 12 \times 10^{-6} \, \text{°C}^{-1} \)), и \( \Delta T = 25 \, \text{°C} - 20 \, \text{°C} = 5 \, \text{°C} \).

Подставляем значения:

\[ \Delta L = 1000 \cdot 12 \times 10^{-6} \cdot 5 = 0.060 \, \text{м} = 60 \, \text{мм}. \]

Вышеуказанное изменение длины создаёт изгиб рельсы в форму арки. Для этого высоту в центре дуги \( h \) можно определить, используя формулу и геометрию. Поскольку радиус кривизны \( R = \frac{L^2}{8h} \), можно записать:

\[ h = \frac{L^2}{8R}, \]

где \( L = 1000 \, \text{м} \) и \( \Delta L = 0.060 \, \text{м} \).

Чтобы высота равнялась 60 мм:

Когда рельса вырастет, радиус будет изменён, и высота центра дуги составит около 0.060 м.

Следовательно, высота \( h \) в центре дуги:

\[ h \approx 0.060 \, \text{м} = 60 \, \text{мм}. \]

Таким образом, итоговые ответы:

1. Длина колонны после разворота спортсменов: примерно 311.1 м.
2. Угол θ: примерно 56.5°.
3. Высота h в центре дуги: 60 мм.