Для решения этой задачи обозначим четыре задуманных натуральных числа как ( a_1, a_2, a_3, a_4 ). Как указано, Саша умножил каждое из этих чисел на три, так что у нас есть следующие числа:
[
3a_1, 3a_2, 3a_3, 3a_4
]
Вдобавок он также записал все возможные произведения пар задуманного чисел. Числами, которые будут получены в результате произведений из пар, будут:
[
a_1a_2, a_1a_3, a_1a_4, a_2a_3, a_2a_4, a_3a_4
]
Таким образом, на доске у нас всего 10 чисел:
[
3a_1, 3a_2, 3a_3, 3a_4, a_1a_2, a_1a_3, a_1a_4, a_2a_3, a_2a_4, a_3a_4
]
Чтобы доказать, что среди этих 10 чисел найдутся два числа, оканчивающиеся одной и той же цифрой, воспользуемся некоторыми свойствами чисел и остатками от деления на 10.
Числа ( 3a_1, 3a_2, 3a_3, 3a_4 ) могут принимать только 4 различных остатка при делении на 10, так как ( a_1, a_2, a_3, a_4 ) — натуральные числа, а значит, ( a_i ) могут принимать значения от 1 до 9, и соответственно, ( 3a_i ) будет давать остатки от 3 до 27, которые распределяются по 10 возможным остаткам, т.е. от 0 до 9.
Теперь рассмотрим произведения:
Если ( a_i ) — натуральные числа, то каждая пара чисел ( a_i ) и ( a_j ) (где ( i \neq j )) в произведении ( a_ia_j ) также может принимать различные остатки при делении на 10. На самом деле, произведение двух натуральных чисел может заканчиваться на любую цифру от 0 до 9.
Так как у нас 10 чисел, которые мы анализируем, и только 10 возможных остатков по модулю 10, то по принципу Дирихле (или принципу «гнездования») среди 10 чисел, хотя бы два числа будут иметь одинаковый остаток при делении на 10.
Таким образом, мы пришли к выводу, что среди 10 чисел, написанных на доске, как минимум два числа оканчиваются на одну и ту же цифру.
