Для того чтобы найти градусную меру дуги сектора, который является развёрткой боковой поверхности конуса, сначала вспомним, что площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:
[
S = \pi r l
]
где (S) — площадь боковой поверхности конуса, (r) — радиус основания, (l) — образующая конуса.
Дано, что площадь (S = \frac{9\pi}{8}) и образующая (l = 3). Подставим известные значения в формулу:
[
\frac{9\pi}{8} = \pi r \cdot 3
]
Упрощая, получаем:
[
\frac{9}{8} = 3r
]
Отсюда найдем радиус (r):
[
r = \frac{9}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}
]
Теперь, чтобы найти градусную меру угла сектора, воспользуемся формулой для площади сектора:
[
S = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi R^2
]
где (R) — радиус сектора (в данном случае это образующая конуса (l)), а (\theta) — угол в градусах. Это можно переписать как:
[
S = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi l^2
]
Теперь подставим значения (S = \frac{9\pi}{8}) и (l = 3):
[
\frac{9\pi}{8} = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi \cdot 3^2
]
Упрощая получаем:
[
\frac{9\pi}{8} = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 9\pi
]
Сократив (\pi) и 9:
[
\frac{1}{8} = \frac{\theta}{360^\circ}
]
Теперь находим (\theta):
[
\theta = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ
]
Таким образом, градусная мера дуги сектора равна (45^\circ).
