Площадь кругового сектора, который является развёрткой боковой поверхности конуса, равна 9π/8 . Найди градусную меру дуги сектора, если образующая конуса равна 3

Для того чтобы найти градусную меру дуги сектора, который является развёрткой боковой поверхности конуса, сначала вспомним, что площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

\[ S = \pi r l \]

где \(S\) — площадь боковой поверхности конуса, \(r\) — радиус основания, \(l\) — образующая конуса.

Дано, что площадь \(S = \frac{9\pi}{8}\) и образующая \(l = 3\). Подставим известные значения в формулу:

\[ \frac{9\pi}{8} = \pi r \cdot 3 \]

Упрощая, получаем:

\[ \frac{9}{8} = 3r \]

Отсюда найдем радиус \(r\):

\[ r = \frac{9}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8} \]

Теперь, чтобы найти градусную меру угла сектора, воспользуемся формулой для площади сектора:

\[ S = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi R^2 \]

где \(R\) — радиус сектора (в данном случае это образующая конуса \(l\)), а \(\theta\) — угол в градусах. Это можно переписать как:

\[ S = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi l^2 \]

Теперь подставим значения \(S = \frac{9\pi}{8}\) и \(l = 3\):

\[ \frac{9\pi}{8} = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi \cdot 3^2 \]

Упрощая получаем:

\[ \frac{9\pi}{8} = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 9\pi \]

Сократив \(\pi\) и 9:

\[ \frac{1}{8} = \frac{\theta}{360^\circ} \]

Теперь находим \(\theta\):

\[ \theta = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ \]

Таким образом, градусная мера дуги сектора равна \(45^\circ\).