Параллелограмм abcd отрезок pd площадь apd равна 45 ,площадь abcd равна 120 найти AP : BP

Пусть \( P \) — точка на стороне \( AD \) параллелограмма \( ABCD \). Площадь треугольника \( APD \) равна 45, а площадь всего параллелограмма \( ABCD \) равна 120. Площадь треугольника \( APD \) можно выразить через отношения отрезков, которые делит точка \( P \). Параллелограмм делится на два треугольника: \( APD \) и \( BPC \). Заметим, что если мы проведем отрезок \( PD \), то площадь треугольника \( APD \) будет равна: \[ S_{APD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_1, \] где \( h_1 \) — высота, опущенная из точки \( P \) на основание \( AD \). Площадь всего параллелограмма может быть выражена как: \[ S_{ABCD} = AD \cdot H, \] где \( H \) — высота, проведенная из точки \( B \) или \( C \) на сторону \( AD \). Согласно условию, мы знаем, что: 1. \( S_{APD} = 45 \) 2. \( S_{ABCD} = 120 \) Площадь треугольника \( BPC \) будет равна площади параллелограмма за вычетом площади треугольника \( APD \): \[ S_{BPC} = S_{ABCD} - S_{APD} = 120 - 45 = 75. \] Теперь, поскольку \( APD \) и \( BPC \) — это два треугольника, общая высота до стороны \( AD \) у них одинаковая. Следовательно, отношение площадей треугольников равно отношению оснований: \[ \frac{S_{APD}}{S_{BPC}} = \frac{AP}{BP}. \] Подставим известные значения площадей: \[ \frac{45}{75} = \frac{AP}{BP}. \] Упростим дробь: \[ \frac{45}{75} = \frac{3}{5}. \] Таким образом, мы получаем: \[ \frac{AP}{BP} = \frac{3}{5}. \] Итак, \( AP : BP = 3 : 5 \).