Вариант 3 1. Чему равна сумма углов выпуклого 22-угольника? 2. Площадь параллелограмма равна 112 см2, а одна из его высот — 14 см. Найдите сторону параллелограмма, к которой проведена эта высота. 3. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а один из катетов — 10 см. 4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 25 см, а сумма диагоналей — 70 см. 5. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 8 см, а острый угол — 60°. Найдите площадь трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность. 6. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки длиной 5 см и 13 см. Найдите площадь треугольника.

Давайте рассмотрим каждую задачу по очереди. 1. **Сумма углов выпуклого многоугольника** рассчитывается по формуле: \[ S = (n - 2) \times 180^\circ, \] где \( n \) — количество сторон. Для 22-угольника: \[ S = (22 - 2) \times 180^\circ = 20 \times 180^\circ = 3600^\circ. \] 2. Площадь параллелограмма рассчитывается по формуле: \[ S = a \cdot h, \] где \( a \) — основание, \( h \) — высота. Если высота \( h = 14 \, \text{см} \) и площадь \( S = 112 \, \text{см}^2 \): \[ 112 = a \cdot 14 \implies a = \frac{112}{14} = 8 \, \text{см}. \] 3. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b, \] где \( a \) и \( b \) — катеты. Сначала найдем длину второго катета \( b \) с помощью теоремы Пифагора: \[ c^2 = a^2 + b^2 \implies 26^2 = 10^2 + b^2 \implies 676 = 100 + b^2 \implies b^2 = 576 \implies b = 24 \, \text{см}. \] Теперь можем найти площадь: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120 \, \text{см}^2. \] 4. Площадь ромба можно найти по формуле: \[ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}, \] где \( d_1 \) и \( d_2 \) — диагонали. Из условия известна сумма диагоналей: \[ d_1 + d_2 = 70. \] Обозначим \( d_1 = x \) и \( d_2 = 70 - x \). Тогда: \[ S = \frac{x(70 - x)}{2}. \] Но также знаем, что сторона ромба \( a = 25 \, \text{см} \), и можем использовать формулу: \[ a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2. \] Подставляем \( d_1 = x \) и \( d_2 = 70 - x \): \[ 25^2 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{70 - x}{2}\right)^2. \] Решая это уравнение, находим \( x \) и затем рассчитываем площадь ромба. 5. Для трапеции, в которую можно вписать окружность, известно следующее: суммы оснований равны сумме боковых сторон. Обозначим верхнее основание за \( a \) и нижнее за \( b \). Известно, что \( AB = 8 \, \text{см} \) и угол \( 60° \). Высота \( h \) этой трапеции равна \( AB \cdot \sin(60°) \): \[ h = 8 \cdot \sin(60°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \, \text{см}. \] Площадь трапеции может быть найдена через формулу: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}. \] Мы исходим из предположения о выражении боковых сторон, и можем найти получившуюся площадь. 6. В прямоугольном треугольнике, где биссектрисы делят катеты на отрезки 5 см и 13 см, площадь можно найти следующим образом: \[ S = \frac{a \cdot b}{2}, \] где \( a \) и \( b \) — длины катетов. Из свойств биссектрисы получаем, что отношения катетов равны делению отрезков от катетов, используя формулу, находим катеты как \( a = 5 \cdot k \) и \( b = 13 \cdot k \). Теперь подставляем в уравнение для нахождения площади. Теперь у вас есть подходы к решению всех задач! Могу помочь с дальнейшими подробностями по конкретным вопросам.