Чтобы выяснить, через какое время минутная стрелка догонит часовую после четырёх часов, давайте сначала определим скорости обеих стрелок.
Часовая стрелка делает один полный оборот (360 градусов) за 12 часов, то есть за 43200 секунд. Следовательно, скорость часовой стрелки составляет:
[
v_{час} = \frac{360 \text{ градусов}}{43200 \text{ секунд}} = \frac{1}{120} \text{ градусов в секунду}.
]
Минутная стрелка делает один полный оборот (360 градусов) за 1 час, то есть за 3600 секунд. Следовательно, скорость минутной стрелки составляет:
[
v_{мин} = \frac{360 \text{ градусов}}{3600 \text{ секунд}} = \frac{1}{10} \text{ градусов в секунду}.
]
Теперь определим положение часовой стрелки в начальный момент времени (в 4:00). Часовая стрелка находится на 120 градусах (4 часа × 30 градусов за каждый час).
После времени ( t ) секунд, положение часовой стрелки ( P_{ч} ) и минутной стрелки ( P_{мин} ) будут определяться следующим образом:
- Положение часовой стрелки:
[
P_{ч}(t) = 120 + \frac{1}{120} t.
]
- Положение минутной стрелки:
[
P_{мин}(t) = \frac{1}{10} t.
]
Минутная стрелка догоняет часовую, когда их положения равны:
[
P_{ч}(t) = P_{мин}(t).
]
Подставим уравнения:
[
120 + \frac{1}{120} t = \frac{1}{10} t.
]
Умножим уравнение на 120, чтобы избавиться от дробей:
[
120 \cdot 120 + t = 12t.
]
[
14400 + t = 12t.
]
Переносим все члены с ( t ) в одну сторону:
[
14400 = 12t - t,
]
[
14400 = 11t.
]
Найдем ( t ):
[
t = \frac{14400}{11} \approx 1309.09 \text{ секунд}.
]
Округляя это значение до ближайшего целого, получаем:
[
t \approx 1309 \text{ секунд}.
]
Таким образом, минутная стрелка догонит часовую через примерно 1309 секунд после 4:00.
