Для решения данной задачи нам нужно использовать некоторые знания из физики, связанной с колебаниями и законами сохранения энергии.
- Определим амплитуду колебаний (A).
Полная механическая энергия колебательной системы (груза на пружине) определяется формулой:
[
E = \frac{1}{2} k A^2
]
где:
- (E) — полная энергия колебаний (в нашем случае 496 Дж),
- (k) — жёсткость пружины (в нашем случае 10 Н/м),
- (A) — амплитуда колебаний.
Подставим известные значения и найдем амплитуду (A):
[
496 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot A^2
]
Упростим уравнение:
[
496 = 5 A^2
]
Разделим обе стороны на 5:
[
A^2 = \frac{496}{5} = 99.2
]
Теперь извлечем квадратный корень:
[
A = \sqrt{99.2} \approx 9.96 \text{ м}
]
- Теперь найдем период колебаний (T).
Период колебаний для пружинной системы можно вычислить по формуле:
[
T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}
]
где:
- (m) — масса груза,
- (k) — жёсткость пружины.
Сначала нужно перевести массу из граммов в килограммы:
[
m = 222 \text{ г} = 0.222 \text{ кг}
]
Теперь подставим значения в формулу для периода:
[
T = 2\pi \sqrt{\frac{0.222}{10}} \approx 2\pi \sqrt{0.0222}
]
Сначала вычислим ( \sqrt{0.0222} ):
[
\sqrt{0.0222} \approx 0.149
]
Теперь подставим это значение в формулу для периода:
[
T = 2\pi \cdot 0.149 \approx 0.937 \text{ с}
]
- Теперь найдем максимальную скорость (v_max).
Максимальная скорость груза в колебаниях определяется формулой:
[
v_{\text{max}} = A \cdot \omega
]
где:
- (\omega) — угловая частота, которая определяется как (\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}).
Сначала найдем (\omega):
[
\omega = \sqrt{\frac{10}{0.222}} \approx \sqrt{45.045}
]
(\sqrt{45.045} \approx 6.71 \text{ рад/с}).
Теперь можем подсчитать максимальную скорость:
[
v_{\text{max}} = A \cdot \omega \approx 9.96 \cdot 6.71 \approx 66.87 \text{ м/с}
]
Таким образом, итоговые результаты:
- Амплитуда колебаний: 9.96 м
- Период колебаний: 0.94 с
- Максимальная скорость груза: 66.87 м/с
Округлим до сотых, как было указано:
- Амплитуда колебаний: 9.96 м
- Период колебаний: 0.94 с
- Максимальная скорость груза: 66.87 м/с
