Давайте решим задачу шаг за шагом.
1. Обозначим переменные.
Пусть скорость туриста по проселочной дороге равна ( x ) км/ч. Следовательно, скорость по шоссе, которая на 2 км/ч больше, будет равна ( x + 2 ) км/ч.
2. Определим время, затраченное на каждую часть пути.
По проселочной дороге турист прошёл 6 км. Время, затраченное на этот участок, можно вычислить по формуле:
[
t_{\text{проселочная}} = \frac{S}{V} = \frac{6}{x}
]
По шоссе турист прошёл 3 км. Время для этого участка будет:
[
t_{\text{шоссе}} = \frac{S}{V} = \frac{3}{x + 2}
]
3. Составим уравнение для общего времени.
Согласно условиям задачи, общее время в пути составило 2 часа. Таким образом, у нас есть уравнение:
[
\frac{6}{x} + \frac{3}{x + 2} = 2
]
4. Умножим обе стороны уравнения на общий знаменатель.
Общий знаменатель здесь будет ( x(x + 2) ). Умножим уравнение на ( x(x + 2) ):
[
6(x + 2) + 3x = 2x(x + 2)
]
5. Упростим уравнение.
Раскроем скобки:
[
6x + 12 + 3x = 2x^2 + 4x
]
Соберём все члены в одну сторону уравнения:
[
6x + 12 + 3x - 4x - 2x^2 = 0
]
Упростим:
[
-2x^2 + 5x + 12 = 0
]
Умножим на -1, чтобы упростить:
[
2x^2 - 5x - 12 = 0
]
6. Решим квадратное уравнение.
Используем формулу дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 25 + 96 = 121
]
Теперь находим корни:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 11}{4}
]
Это даёт два возможных значения:
- ( x = \frac{16}{4} = 4 ) (допустимо, скорость не может быть отрицательной)
- ( x = \frac{-6}{4} = -1.5 ) (неприемлемо)
Таким образом, скорость по проселочной дороге ( x = 4 ) км/ч.
7. Найдём скорость по шоссе.
Скорость по шоссе будет:
[
x + 2 = 4 + 2 = 6 \text{ км/ч}
]
Ответ: Турист шёл по проселочной дороге со скоростью 4 км/ч и по шоссе со скоростью 6 км/ч.
