Для упрощения выражения ( x^{31} \cdot (x^{16})^{-2} ) следуем следующим шагам:
Шаг 1: Упростим выражение
Используем свойства степеней. Помним, что:
[
(a^m)^n = a^{m \cdot n}
]
Таким образом, мы можем упростить вторую часть выражения ( (x^{16})^{-2} ):
[
(x^{16})^{-2} = x^{16 \cdot (-2)} = x^{-32}
]
Теперь подставим это обратно в выражение:
[
x^{31} \cdot x^{-32}
]
Шаг 2: Сложим показатели степеней
При умножении степеней с одинаковым основанием складываем их показатели:
[
x^{31 - 32} = x^{-1}
]
Шаг 3: Запишем окончательное упрощенное выражение
Теперь мы имеем:
[
x^{-1}
]
Шаг 4: Найдем значение выражения при ( x = \frac{1}{13} )
Подставляем ( x ) в упрощенное выражение:
[
x^{-1} = \left(\frac{1}{13}\right)^{-1}
]
Используя свойства дробей, получаем:
[
\left(\frac{1}{13}\right)^{-1} = 13
]
Ответ
Таким образом, значение выражения ( x^{31} \cdot (x^{16})^{-2} ) при ( x = \frac{1}{13} ) равно ( \boxed{13} ).
