На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены точки М и N соответственно. Известно, что AM: MB= 3:4 и AN: NC 3: 2. Найдите площадь треугольника АMN, если площадь треугольника АВС…

Для решения задачи найдем площадь треугольника \( AMN \) на основании данных о треугольнике \( ABC \).

1. Понимание соотношений:
   У нас есть треугольник \( ABC \) и отмечены точки \( M \) на стороне \( AB \) и \( N \) на стороне \( AC \). Соотношение длины отрезков указано:

   • \( AM: MB = 3:4 \) означает, что \( AM = 3k \) и \( MB = 4k \) (где \( k \) — некое положительное число).

   • Длина стороны \( AB = AM + MB = 3k + 4k = 7k \).

   • \( AN: NC = 3:2 \) означает, что \( AN = 3m \) и \( NC = 2m \) (где \( m \) — тоже положительное число).

   • Длина стороны \( AC = AN + NC = 3m + 2m = 5m \).

2. Поиск площади треугольника \( AMN \):
   Площадь треугольника \( ABC \) равна 70. Мы можем выразить площадь \( AMN \) через площади треугольников \( ABN \) и \( ACM \).

   Воспользуемся правилами нахождения площадей треугольников через их основания и высоты, а также соотношениями отрезков:

   • Площадь треугольника \( AMN \) найдем через площадь \( ABC \): \[ \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{AM}{AB} \cdot \frac{AN}{AC} \]

   Подставляя известные значения: \[ \frac{AM}{AB} = \frac{3k}{7k} = \frac{3}{7} \] \[ \frac{AN}{AC} = \frac{3m}{5m} = \frac{3}{5} \]

   Теперь подставим эти соотношения в формулу: \[ \frac{S_{AMN}}{70} = \frac{3}{7} \cdot \frac{3}{5} \]

   Теперь вычислим правую часть: \[ \frac{3}{7} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{35} \]

   Теперь упрощаем уравнение: \[ S_{AMN} = 70 \cdot \frac{9}{35} \]

3. Вычисления: \[ S_{AMN} = 70 \cdot \frac{9}{35} = 70 \cdot 0.257142857 = 36 \]

Таким образом, площадь треугольника \( AMN \) равна 18.

Итак, чтобы найти площадь треугольника \( AMN \), мы использовали соотношения отрезков на сторонах треугольника и пропорционально вычислили площадь.