Номер 3(4), номер 4(1,2)

Давайте решим задачи по неравенствам. ### 3. Решите неравенства: #### (4) \((x - 1)(2x^2 - x - 3) < 0\) Для решения данного неравенства следуем шагам: 1. **Найдём нули функции.** У нас есть произведение \((x - 1)(2x^2 - x - 3)\). - \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\). Разложим квадратный трёхчлен \(2x^2 - x - 3\) на множители: \[ 2x^2 - x - 3 = 0 \] Дискриминант \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25\) Найдём корни: \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 5}{4} \] \[ x_1 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \quad x_2 = \frac{-4}{4} = -1 \] 2. **Построим числовую прямую и отметим нули: \(x = 1\), \(x = -1\), \(x = \frac{3}{2}\).** 3. **Определим знаки на промежутках.** Разобьем прямую на промежутки с учётом корней: - \((-\infty, -1)\), - \((-1, 1)\), - \((1, \frac{3}{2})\), - \((\frac{3}{2}, \infty)\). Проверяем знаки для каждого интервала: - На \((-\infty, -1)\): выберем точку \(x = -2\). \((-2-1)(2(-2)^2 - (-2) - 3) = (-3)(8 + 2 - 3) = -3 \times 7 < 0\). - На \((-1, 1)\): выберем точку \(x = 0\). \((0-1)(2 \cdot 0^2 - 0 - 3) = (-1)(-3) = 3 > 0\). - На \((1, \frac{3}{2})\): выберем точку \(x = 1.2\). \((1.2-1)(2(1.2)^2 - 1.2 - 3) < 0\). - На \((\frac{3}{2}, \infty)\): выберем точку \(x = 2\). \((2-1)(2 \cdot 2^2 - 2 - 3) = (1)(3) > 0\). 4. **Ответ: \((-\infty, -1) \cup (1, \frac{3}{2})\).** ### 4. Решите неравенства: #### (1) \(\frac{1}{x} \leq 1 \) Перепишем неравенство и найдём ОДЗ: 1. **ОДЗ:** \(x \neq 0\). 2. Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{1}{x} - 1 \leq 0 \Rightarrow \frac{1 - x}{x} \leq 0 \] 3. **Найдём нули числителя:** \(1 - x = 0 \Rightarrow x = 1\). 4. **Построим числовую прямую и проверим знаки на интервалах.** Отметим точки \(x = 0\) и \(x = 1\). Проанализируем промежутки: - \((-\infty, 0)\): выберем точку \(x = -1\). \(\frac{1 - (-1)}{-1} = -2 < 0\). - \((0, 1)\): выберем точку \(x = 0.5\). \(\frac{1 - 0.5}{0.5} = 1 > 0\). - \((1, \infty)\): выберем точку \(x = 2\). \(\frac{1 - 2}{2} = -0.5 < 0\). 5. **Ответ:** \(x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty]\). #### (2) \(\frac{x - 4}{x + 2} > 0\) 1. **ОДЗ:** \(x \neq -2\). 2. **Найдём нули числителя:** \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\). 3. **Построим числовую прямую и проверим знаки на интервалах.** Числовая прямая с точками \(x = -2\) и \(x = 4\). Проверим промежутки: - \((-\infty, -2)\): выберем точку \(x = -3\). \(\frac{-3 - 4}{-3 + 2} = \frac{-7}{-1} > 0\). - \((-2, 4)\): выберем точку \(x = 0\). \(\frac{0 - 4}{0 + 2} = -2 < 0\). - \((4, \infty)\): выберем точку \(x = 5\). \(\frac{5 - 4}{5 + 2} = \frac{1}{7} > 0\). 4. **Ответ:** \(x \in (-\infty, -2) \cup (4, \infty)\). Готово! Я рассказал подробно, дайте знать, если есть вопросы.