Номер 3(4), номер 4(1,2)

Давайте решим задачи по неравенствам.

3. Решите неравенства:

(4) \((x - 1)(2x^2 - x - 3) < 0\)

Для решения данного неравенства следуем шагам:

1. Найдём нули функции.

   У нас есть произведение \((x - 1)(2x^2 - x - 3)\).

   • \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\).

   Разложим квадратный трёхчлен \(2x^2 - x - 3\) на множители:

   \[ 2x^2 - x - 3 = 0 \]

   Дискриминант \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25\)

   Найдём корни:

   \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 5}{4} \]

   \[ x_1 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \quad x_2 = \frac{-4}{4} = -1 \]

2. Построим числовую прямую и отметим нули: \(x = 1\), \(x = -1\), \(x = \frac{3}{2}\).

3. Определим знаки на промежутках.

   Разобьем прямую на промежутки с учётом корней:

   • \((-\infty, -1)\),
   • \((-1, 1)\),
   • \((1, \frac{3}{2})\),
   • \((\frac{3}{2}, \infty)\).

   Проверяем знаки для каждого интервала:

   • На \((-\infty, -1)\): выберем точку \(x = -2\). \((-2-1)(2(-2)^2 - (-2) - 3) = (-3)(8 + 2 - 3) = -3 \times 7 < 0\).
   • На \((-1, 1)\): выберем точку \(x = 0\). \((0-1)(2 \cdot 0^2 - 0 - 3) = (-1)(-3) = 3 > 0\).
   • На \((1, \frac{3}{2})\): выберем точку \(x = 1.2\). \((1.2-1)(2(1.2)^2 - 1.2 - 3) < 0\).
   • На \((\frac{3}{2}, \infty)\): выберем точку \(x = 2\). \((2-1)(2 \cdot 2^2 - 2 - 3) = (1)(3) > 0\).

4. Ответ: \((-\infty, -1) \cup (1, \frac{3}{2})\).

4. Решите неравенства:

(1) \(\frac{1}{x} \leq 1 \)

Перепишем неравенство и найдём ОДЗ:

1. ОДЗ: \(x \neq 0\).

2. Приведем к общему знаменателю:

   \[ \frac{1}{x} - 1 \leq 0 \Rightarrow \frac{1 - x}{x} \leq 0 \]

3. Найдём нули числителя: \(1 - x = 0 \Rightarrow x = 1\).

4. Построим числовую прямую и проверим знаки на интервалах.

   Отметим точки \(x = 0\) и \(x = 1\).

   Проанализируем промежутки:

   • \((-\infty, 0)\): выберем точку \(x = -1\). \(\frac{1 - (-1)}{-1} = -2 < 0\).
   • \((0, 1)\): выберем точку \(x = 0.5\). \(\frac{1 - 0.5}{0.5} = 1 > 0\).
   • \((1, \infty)\): выберем точку \(x = 2\). \(\frac{1 - 2}{2} = -0.5 < 0\).

5. Ответ: \(x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty]\).

(2) \(\frac{x - 4}{x + 2} > 0\)

1. ОДЗ: \(x \neq -2\).

2. Найдём нули числителя: \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\).

3. Построим числовую прямую и проверим знаки на интервалах.

   Числовая прямая с точками \(x = -2\) и \(x = 4\).

   Проверим промежутки:

   • \((-\infty, -2)\): выберем точку \(x = -3\). \(\frac{-3 - 4}{-3 + 2} = \frac{-7}{-1} > 0\).
   • \((-2, 4)\): выберем точку \(x = 0\). \(\frac{0 - 4}{0 + 2} = -2 < 0\).
   • \((4, \infty)\): выберем точку \(x = 5\). \(\frac{5 - 4}{5 + 2} = \frac{1}{7} > 0\).

4. Ответ: \(x \in (-\infty, -2) \cup (4, \infty)\).

Готово! Я рассказал подробно, дайте знать, если есть вопросы.