В классе 4 учащихся посещают дополнительные занятия по математике и русскому языку, 3 человека - по математике и английскому языку, 9 учеников - только по математике и 4 учащихся…

Давайте решим задачу, шаг за шагом, чтобы понять, как находить вероятность.

1. Шаг 1: Определим данные из условия

   • Обозначим:
     • \( M \) - количество учащихся, посещающих дополнительные занятия по математике.
     • \( R \) - количество учащихся, посещающих дополнительные занятия по русскому языку.
     • \( E \) - количество учащихся, посещающих дополнительные занятия по английскому языку.

   Из условия:

   • 4 учащихся посещают занятия по математике и русскому языку.
   • 3 человека - по математике и английскому языку.
   • 9 учеников - только по математике.
   • 4 учащихся не посещают никаких дополнительных занятий.

2. Шаг 2: Найдем общее количество учащихся
   Для начала нужно выяснить общее количество учащихся (обозначим его \( N \)): \[ N = (число, которые занимаются математикой) + (число н/д) \] Всего дополнительных занятий не посещают 4 ученика. Зафиксируем, что: \[ (A \cap R) + (A \cap E) + (M) + (н/д) = N \]

3. Шаг 3: Разберем занятия по математике
   \( M_total = 4 + 3 + 9 + N \) Но сначала определим \( N \): 9 учащихся, занимаясь только математикой, будут представлены как \( M_математика = 9 \), а для \( M_математика + M_язык \).

   • Обозначим:
     • \( x \) - число учеников, занимающихся только английским языком.

4. Шаг 4: Применим принцип включения и исключения
   Весь класс состоит из:

   • 9 - только математика
   • 4 - математика и русский
   • 3 - математика и английский
   • \( x \) - только английский

5. Шаг 5: Общее количество
   Объединим все учащихся: \[ 9 + 4 + 3 + x + 4 = 4 + N \] Ранее мы вывели, что всего 4 человека не занимаются никакими предметами, значит: \( N = 9 + 3 + 4 + 4 = 20 \).

6. Рассмотрим количество учащихся
   По английскому языку, по заданию: \[ x = 0 \] Ко всем ученикам: \[ N = 20 - 4 = 16 \]

Значит, 16 учеников занимаются дополнительными занятиями.

7. Шаг 7: Теперь найдем вероятность
   У нас было 3 ученика, занимающиеся одновременно математикой и английским языком. Поэтому число учащихся, посещающих занятия по английскому языку: \[ P(E) = \frac{число учащихся, посещающих английский}{число всех учащихся} = \frac{3}{16} \]

8. Ответ
   Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный ученик посещает дополнительные занятия по английскому языку, составляет \( \frac{3}{16} \).