Давайте докажем тождество
[
\frac{\cos^2 t}{1 - \sin t - \sin t} = 1.
]
Сначала упростим знаменатель:
[
1 - \sin t - \sin t = 1 - 2\sin t.
]
Таким образом, наше тождество принимает вид:
[
\frac{\cos^2 t}{1 - 2\sin t} = 1.
]
Теперь умножим обе части на (1 - 2\sin t):
[
\cos^2 t = 1 - 2\sin t.
]
Используем основное тригонометрическое тождество:
[
\cos^2 t = 1 - \sin^2 t.
]
Подставим это в уравнение:
[
1 - \sin^2 t = 1 - 2\sin t.
]
Теперь уберем 1 с обеих сторон:
[
-\sin^2 t = -2\sin t.
]
Умножим на -1:
[
\sin^2 t = 2\sin t.
]
Переносим все в одну сторону:
[
\sin^2 t - 2\sin t = 0.
]
Факторизуем:
[
\sin t(\sin t - 2) = 0.
]
Это уравнение имеет решения:
[
\sin t = 0 \quad \text{или} \quad \sin t = 2.
]
Однако (\sin t = 2) - это невозможное значение, так как значение синуса всегда находится в диапазоне от -1 до 1. Таким образом, остаётся только (\sin t = 0).
В этих случаях (\cos^2 t = 1), и уравнение выполняется.
Таким образом, мы доказали, что
[
\frac{\cos^2 t}{1 - 2\sin t} = 1
]
выполняется при (\sin t = 0). В других случаях, возможно, у тождества есть дополнительные ограничения.
Следовательно, тождество верно, когда (\sin t = 0):
[
\frac{\cos^2 t}{1 - \sin t - \sin t} = 1.
]
