Давайте упростим данное тождество:
Дано:
[
\frac{\sin^2 t}{1 + \cos t + \cos^2 t} = 1
]
Сначала умножим обе стороны на (1 + \cos t + \cos^2 t), чтобы избавиться от дроби (при условии, что (1 + \cos t + \cos^2 t \neq 0)):
[
\sin^2 t = 1 + \cos t + \cos^2 t
]
Теперь мы воспользуемся тригонометрическим тождеством (\sin^2 t + \cos^2 t = 1). Следовательно, (\sin^2 t) можно выразить как:
[
\sin^2 t = 1 - \cos^2 t
]
Подставим это значение в уравнение:
[
1 - \cos^2 t = 1 + \cos t + \cos^2 t
]
Теперь, упростим уравнение:
[
1 - \cos^2 t = 1 + \cos t + \cos^2 t
]
[
-\cos^2 t = \cos t + \cos^2 t
]
Переносим все члены на одну сторону:
[
-\cos^2 t - \cos^2 t - \cos t = 0
]
[
-2\cos^2 t - \cos t = 0
]
Вынесем общий множитель:
[
- \cos t (2 \cos t + 1) = 0
]
Это уравнение имеет два решения:
- (\cos t = 0)
- (2 \cos t + 1 = 0 \Rightarrow \cos t = -\frac{1}{2})
Данная система решений соответствует углам, при которых выполняется данное тождество.
Таким образом, мы доказали, что данное тождество выполняется для (\sin^2 t = 1 + \cos t + \cos^2 t).
