Докажите тождество : sin^2t/1+cost+cost=1
Давайте упростим данное тождество:
Дано: \[ \frac{\sin^2 t}{1 + \cos t + \cos^2 t} = 1 \]
Сначала умножим обе стороны на \(1 + \cos t + \cos^2 t\), чтобы избавиться от дроби (при условии, что \(1 + \cos t + \cos^2 t \neq 0\)): \[ \sin^2 t = 1 + \cos t + \cos^2 t \]
Теперь мы воспользуемся тригонометрическим тождеством \(\sin^2 t + \cos^2 t = 1\). Следовательно, \(\sin^2 t\) можно выразить как: \[ \sin^2 t = 1 - \cos^2 t \]
Подставим это значение в уравнение: \[ 1 - \cos^2 t = 1 + \cos t + \cos^2 t \]
Теперь, упростим уравнение: \[ 1 - \cos^2 t = 1 + \cos t + \cos^2 t \] \[ -\cos^2 t = \cos t + \cos^2 t \]
Переносим все члены на одну сторону: \[ -\cos^2 t - \cos^2 t - \cos t = 0 \] \[ -2\cos^2 t - \cos t = 0 \]
Вынесем общий множитель: \[ - \cos t (2 \cos t + 1) = 0 \]
Это уравнение имеет два решения:
- \(\cos t = 0\)
- \(2 \cos t + 1 = 0 \Rightarrow \cos t = -\frac{1}{2}\)
Данная система решений соответствует углам, при которых выполняется данное тождество.
Таким образом, мы доказали, что данное тождество выполняется для \(\sin^2 t = 1 + \cos t + \cos^2 t\).
