√-6x+=-x

Давайте решим уравнение \(\sqrt{-6x} = -x\) шаг за шагом.

Шаг 1: Изучим уравнение

У нас есть \(\sqrt{-6x} = -x\). Обратите внимание, что под корнем должно быть неотрицательное выражение, иначе у нас возникнут проблемы с действительными числами.

Шаг 2: Найдем область определения

Для того чтобы \(-6x\) было неотрицательным, должно выполняться: \[ -6x \geq 0 \] Это неравенство будет выполняться при \(x \leq 0\).

Шаг 3: Площадь определения в уравнении

Также обратим внимание на правую часть уравнения \(-x\). Она тоже должна быть неотрицательной, чтобы обе стороны уравнения были равны. Это даст нам: \[ -x \geq 0 \] что эквивалентно: \[ x \leq 0 \] Таким образом, обе части уравнения накладывают одно и то же ограничение: \(x \leq 0\).

Шаг 4: Убираем корень

Для того чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат: \[ (\sqrt{-6x})^2 = (-x)^2 \] Это приводит нас к уравнению: \[ -6x = x^2 \]

Шаг 5: Переносим все члены в одну сторону

Переносим все выражения на одну сторону, чтобы у нас получилось стандартное квадратное уравнение: \[ x^2 + 6x = 0 \]

Шаг 6: Факторизуем

Факторизуем левую часть уравнения: \[ x(x + 6) = 0 \]

Шаг 7: Находим корни

Чтобы произведение равно нулю, хотя бы одно из множителей должно быть равно нулю. Это значит, у нас два возможных случая:

1. \(x = 0\)
2. \(x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6\)

Шаг 8: Проверяем найденные корни

Проверим, подходят ли наши корни под начальное ограничение \(x \leq 0\):

• Для \(x = 0\), подстановка в исходное уравнение: \(\sqrt{-6 \cdot 0} = -0\) → \(0 = 0\), это верно.
• Для \(x = -6\), подстановка: \(\sqrt{-6 \cdot (-6)} = -(-6)\) → \(\sqrt{36} = 6\) → \(6 = 6\), это тоже верно.

Итог

Оба корня удовлетворяют условию \(x \leq 0\). Таким образом, решения уравнения: \[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = -6. \]