Построить график функции у = |x + 1| – 3

Чтобы построить график функции \( y = |x + 1| - 3 \), давайте разберемся с каждым шагом подробно.

Шаг 1: Исследуем функцию

Функция состоит из модуля, то есть \( |x + 1| \), и постоянного смещения вниз на 3 единицы.

1.1. Модуль и его свойства

Модуль \( |x + 1| \) определяет, как будет выглядеть часть функции в зависимости от значений \( x \):

• Если \( x + 1 \geq 0 \) (или \( x \geq -1 \)), то \( |x + 1| = x + 1 \).
• Если \( x + 1 < 0 \) (или \( x < -1 \)), то \( |x + 1| = -(x + 1) = -x - 1 \).

1.2. Разобьем функцию на части

Теперь мы можем разобрать функцию на две части, в зависимости от значения \( x \):

• Для \( x \geq -1 \): \[ y = (x + 1) - 3 = x - 2 \]
• Для \( x < -1 \): \[ y = - (x + 1) - 3 = -x - 1 - 3 = -x - 4 \]

Шаг 2: Определим точки пересечения и важные значения

Теперь давайте найдем значения функции в ключевых точках и нарисуем график:

• Точка пересечения с осью Y (\( x = 0 \)):

  • Для \( x \geq -1 \): \[ y = 0 - 2 = -2 \quad (0, -2) \]

• Точка пересечения с осью X:

  • Найдем \( y = 0 \):

    • Из первого уравнения (\( x - 2 = 0 \)): \[ x = 2 \quad (2, 0) \]

    • Из второго уравнения (\( -x - 4 = 0 \)): \[ x = -4 \quad (-4, 0) \]

Шаг 3: Построим график

Теперь мы можем построить график, используя полученные данные:

• Для \( x < -1 \) — прямая \( y = -x - 4 \).
• Для \( x \geq -1 \) — прямая \( y = x - 2 \).

3.1. Определим различные точки

• \( (-4, 0) \)
• \( (-1, -3) \) (подставив \( x = -1 \) в любое уравнение)
• \( (0, -2) \)
• \( (2, 0) \)

Шаг 4: Наносим точки на координатную плоскость

1. Начертите оси координат.
2. Отметьте точки, полученные на предыдущем шаге.
3. Проведите линии:
   • Линия от \( (-4, 0) \) до \( (-1, -3) \) (с углом наклона).
   • Линия от \( (-1, -3) \) через \( (0, -2) \) и дальше до \( (2, 0) \).

Шаг 5: График

График будет иметь 'V'-образную форму, начиная с точки \( (-1, -3) \) и направляясь вверх вправо и влево. Он будет симметричен относительно точки \( (-1, -3) \).

Заключение

Теперь у вас есть график функции \( y = |x + 1| - 3 \) с использованием аналитического подхода. Если у вас есть дополнительные вопросы по этой функции или другим темам, не стесняйтесь спрашивать!