Катер, развивающий в стоячей воде скорость 20 км/ч, прошёл 36 км против течения и 22 км по течению, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость течения реки.

Чтобы решить задачу о скорости катера и течении реки, нужно использовать базовые принципы скорости, расстояния и времени.

Шаг 1: Определим переменные

1. Скорость катера в стоячей воде \( V_k = 20 \) км/ч.
2. Скорость течения реки \( V_t \) (это то, что нам нужно найти).
3. Расстояние, прошедшее против течения \( S_1 = 36 \) км.
4. Расстояние, прошедшее по течению \( S_2 = 22 \) км.
5. Общее время в пути \( T = 3 \) ч.

Шаг 2: Формулы скорости

• Когда катер движется против течения, его скорость будет: \[ V_{против} = V_k - V_t \]

• Когда катер движется по течению, его скорость будет: \[ V_{по} = V_k + V_t \]

Шаг 3: Найдем время на каждую часть пути

1. Время, затраченное на путь против течения: \[ T_1 = \frac{S_1}{V_{против}} = \frac{36}{20 - V_t} \]

2. Время, затраченное на путь по течению: \[ T_2 = \frac{S_2}{V_{по}} = \frac{22}{20 + V_t} \]

Шаг 4: Составим уравнение

Суммарное время равно 3 часам, поэтому мы можем выразить это уравнение:

\[ T_1 + T_2 = 3 \] Подставим найденные значения времени: \[ \frac{36}{20 - V_t} + \frac{22}{20 + V_t} = 3 \]

Шаг 5: Упростим уравнение

Теперь умножим обе стороны на \( (20 - V_t)(20 + V_t) \) чтобы избавиться от дробей: \[ 36(20 + V_t) + 22(20 - V_t) = 3(20^2 - V_t^2) \]

Раскроем скобки: \[ 720 + 36V_t + 440 - 22V_t = 1200 - 3V_t^2 \]

Соберем подобные члены: \[ 720 + 440 + 14V_t = 1200 - 3V_t^2 \] \[ 14V_t + 3V_t^2 = 1200 - 1160 \] \[ 3V_t^2 + 14V_t - 40 = 0 \]

Шаг 6: Решим квадратное уравнение

Теперь применим формулу квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ V_t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 3 \), \( b = 14 \), \( c = -40 \).

1. Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 196 + 480 = 676 \]

2. Подставим в формулу: \[ V_t = \frac{-14 \pm \sqrt{676}}{2 \cdot 3} \] \[ V_t = \frac{-14 \pm 26}{6} \]

Решения:

• \( V_t = \frac{12}{6} = 2 \) (принимаем, так как скорость не может быть отрицательной)
• \( V_t = \frac{-40}{6} \) (отрицательное значение не подходит)

Шаг 7: Ответ

Скорость течения реки составляет 2 км/ч.