Для того чтобы составить уравнение касательной к графику функции ( y = f(x) ) в точке с абсциссой ( x = a ), необходимо выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их подробнее.
Шаг 1: Найдите значение функции в данной точке
Мы имеем функцию ( f(x) = x^2 - 2x ). Подставим ( x = 3 ):
[
f(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 = 9 - 6 = 3
]
Таким образом, точка касания на графике функции ( f(x) ) имеет координаты ( (3, 3) ).
Шаг 2: Найдите производную функции
Производная функции ( f(x) ) даст нам наклон касательной в данной точке. Находим производную:
[
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x) = 2x - 2
]
Теперь подставим в производную значение ( x = 3 ):
[
f'(3) = 2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4
]
Значит, наклон касательной в точке ( (3, 3) ) равен 4.
Шаг 3: Составьте уравнение касательной
Уравнение касательной можно записать в форме:
[
y - y_0 = m(x - x_0)
]
где ( (x_0, y_0) ) — точка касания, а ( m ) — наклон касательной. Подставляем известные значения:
- ( x_0 = 3 )
- ( y_0 = 3 )
- ( m = 4 )
Таким образом, уравнение касательной будет:
[
y - 3 = 4(x - 3)
]
Шаг 4: Преобразуйте уравнение
Распределяем и упрощаем уравнение:
[
y - 3 = 4x - 12
]
Добавляем 3 к обеим сторонам:
[
y = 4x - 9
]
Ответ
Уравнение касательной к графику функции ( y = f(x) ) в точке ( (3, 3) ) записывается как:
[
y = 4x - 9
]
Теперь у вас есть полное пошаговое решение задачи, и вы можете понять, как строится уравнение касательной. Если у вас есть еще вопросы или нужно разобрать другие задачи, не стесняйтесь обращаться!
