Давайте решим систему уравнений, которая задана из суммы и произведения корней.
У нас есть два уравнения:
- ( x_1 + x_2 = 3 ) (сумма корней)
- ( x_1 \times x_2 = -28 ) (произведение корней)
Здесь ( x_1 ) и ( x_2 ) — это корни некоторого квадратного уравнения. На основе этих уравнений можно составить квадратное уравнение общего вида:
[
x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \times x_2) = 0
]
Теперь подставим значения из наших уравнений:
- Сумма ( x_1 + x_2 = 3 )
- Произведение ( x_1 \times x_2 = -28 )
Подставим эти значения в формулу для квадратного уравнения:
[
x^2 - 3x - 28 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Сначала найдем дискриминант ( D ):
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 1 ), ( b = -3 ), и ( c = -28 ).
Подставим значения:
[
D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28)
]
[
D = 9 + 112
]
[
D = 121
]
Теперь, когда у нас есть дискриминант, мы можем найти корни уравнения с помощью формулы:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставим значения:
[
x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1}
]
[
x_{1,2} = \frac{3 \pm 11}{2}
]
Теперь найдем два значения:
- ( x_1 = \frac{3 + 11}{2} = \frac{14}{2} = 7 )
- ( x_2 = \frac{3 - 11}{2} = \frac{-8}{2} = -4 )
Таким образом, корни уравнения:
[
x_1 = 7, \quad x_2 = -4
]
Мы нашли корни ( x_1 ) и ( x_2), которые соответствуют заданным условиям.
