Давайте обозначим стороны прямоугольника как ( a ) и ( b ). Мы знаем, что диагональ прямоугольника ( d ) можно вычислить по формуле:
[
d = \sqrt{a^2 + b^2}
]
В данном случае, ( d = 10 ), поэтому:
[
\sqrt{a^2 + b^2} = 10
]
Квадратируем обе стороны:
[
a^2 + b^2 = 100
]
Кроме того, угол между диагональю и одной из сторон равен 30°. Предположим, что эта сторона — это сторона ( a ). Мы также знаем, что длина стороны ( a = 9\sqrt{3} ).
Теперь воспользуемся тригонометрией, чтобы найти сторону ( b ). Мы можем выразить сторону ( a ) через диагональ и угол:
[
\cos(30^\circ) = \frac{a}{d}
]
Подставляем известные значения:
[
\frac{9\sqrt{3}}{10} = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Теперь найдем сторону ( b ) с помощью синуса:
[
\sin(30^\circ) = \frac{b}{d}
]
[
\frac{b}{10} = \frac{1}{2} \implies b = 5
]
Теперь, имея стороны ( a = 9\sqrt{3} ) и ( b = 5 ), можем найти площадь прямоугольника:
[
S = a \cdot b = (9\sqrt{3}) \cdot 5 = 45\sqrt{3}
]
Теперь, согласно задаче, нам нужно найти ( \frac{S}{\sqrt{3}} ):
[
\frac{S}{\sqrt{3}} = \frac{45\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 45
]
Таким образом, ответом будет:
[
\boxed{45}
]
