М 8. В прямоугольнике диагональ равна 10, угол между ней и одной из сторон равен 30°, длина этой стороны 9 V 3-Найдите площадь прямоугольника, деленную на V 3.

Давайте обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \). Мы знаем, что диагональ прямоугольника \( d \) можно вычислить по формуле:

\[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \]

В данном случае, \( d = 10 \), поэтому:

\[ \sqrt{a^2 + b^2} = 10 \]

Квадратируем обе стороны:

\[ a^2 + b^2 = 100 \]

Кроме того, угол между диагональю и одной из сторон равен 30°. Предположим, что эта сторона — это сторона \( a \). Мы также знаем, что длина стороны \( a = 9\sqrt{3} \).

Теперь воспользуемся тригонометрией, чтобы найти сторону \( b \). Мы можем выразить сторону \( a \) через диагональ и угол:

\[ \cos(30^\circ) = \frac{a}{d} \]

Подставляем известные значения:

\[ \frac{9\sqrt{3}}{10} = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Теперь найдем сторону \( b \) с помощью синуса:

\[ \sin(30^\circ) = \frac{b}{d} \]

\[ \frac{b}{10} = \frac{1}{2} \implies b = 5 \]

Теперь, имея стороны \( a = 9\sqrt{3} \) и \( b = 5 \), можем найти площадь прямоугольника:

\[ S = a \cdot b = (9\sqrt{3}) \cdot 5 = 45\sqrt{3} \]

Теперь, согласно задаче, нам нужно найти \( \frac{S}{\sqrt{3}} \):

\[ \frac{S}{\sqrt{3}} = \frac{45\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 45 \]

Таким образом, ответом будет:

\[ \boxed{45} \]