Для решения этой задачи о вероятности будем использовать формулу для вычисления вероятности события, а именно:
[
P(A) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}}
]
1. Общее количество исходов
Сначала найдем общее количество способов выбрать 4 детали из 20. Это можно сделать с помощью комбинаций (сочетаний), которые обозначаются как (C(n, k)), где (n) — общее количество элементов, а (k) — количество выбираемых элементов. Формула для расчета комбинаций:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Для нашего случая:
[
C(20, 4) = \frac{20!}{4!(20-4)!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845
]
2. а) Вероятность, что все детали исправные
Из 20 деталей 16 являются исправными. Нам нужно выбрать 4 исправные детали из 16.
Количество благоприятных исходов:
[
C(16, 4) = \frac{16!}{4!(16-4)!} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1820
]
Теперь вычислим вероятность:
[
P(\text{все исправные}) = \frac{C(16, 4)}{C(20, 4)} = \frac{1820}{4845} \approx 0.3757
]
Округляя до тысячных, получаем:
[
P(\text{все исправные}) \approx 0.376
]
3. б) Вероятность, что все детали бракованные
Мы имеем 4 бракованные детали, и нам нужно выбрать все 4.
Количество благоприятных исходов:
[
C(4, 4) = 1
]
Теперь вычислим вероятность:
[
P(\text{все бракованные}) = \frac{C(4, 4)}{C(20, 4)} = \frac{1}{4845} \approx 0.000206
]
Округляя до стотысячных, получаем:
[
P(\text{все бракованные}) \approx 0.00021
]
4. в) Вероятность, что хотя бы одна деталь бракованная
Для этого события удобно использовать дополняющее событие: вероятность того, что все детали исправные.
[
P(\text{хотя бы одна бракованная}) = 1 - P(\text{все исправные}) \approx 1 - 0.3757 = 0.6243
]
Округляя до тысячных, получаем:
[
P(\text{хотя бы одна бракованная}) \approx 0.624
]
5. г) Вероятность, что будет поровну исправных и бракованных
В этом случае нам нужно выбрать 2 исправные и 2 бракованные детали.
Количество благоприятных исходов:
[
C(16, 2) \times C(4, 2) = \left(\frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16 \times 15}{2 \times 1} = 120\right) \times \left(\frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\right) = 120 \times 6 = 720
]
Теперь вычислим вероятность:
[
P(\text{поровну исправных и бракованных}) = \frac{C(16, 2) \times C(4, 2)}{C(20, 4)} = \frac{720}{4845} \approx 0.1487
]
Округляя до тысячных, получаем:
[
P(\text{поровну исправных и бракованных}) \approx 0.149
]
Итоговые ответы:
- а) Вероятность, что все детали исправные: 0.376
- б) Вероятность, что все детали бракованные: 0.00021
- в) Вероятность, что хотя бы одна деталь бракованная: 0.624
- г) Вероятность, что будет поровну исправных и бракованных: 0.149
