5. В ящике находится 20 деталей, среди которых 4 бракованных. Из него вынимают 4 детали. С какой вероятностью: а) все они будут исправные; б) все они будут бракованные; в) хотя бы…

Для решения этой задачи о вероятности будем использовать формулу для вычисления вероятности события, а именно:

\[ P(A) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} \]

1. Общее количество исходов

Сначала найдем общее количество способов выбрать 4 детали из 20. Это можно сделать с помощью комбинаций (сочетаний), которые обозначаются как \(C(n, k)\), где \(n\) — общее количество элементов, а \(k\) — количество выбираемых элементов. Формула для расчета комбинаций:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Для нашего случая:

\[ C(20, 4) = \frac{20!}{4!(20-4)!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845 \]

2. а) Вероятность, что все детали исправные

Из 20 деталей 16 являются исправными. Нам нужно выбрать 4 исправные детали из 16.

Количество благоприятных исходов:

\[ C(16, 4) = \frac{16!}{4!(16-4)!} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1820 \]

Теперь вычислим вероятность:

\[ P(\text{все исправные}) = \frac{C(16, 4)}{C(20, 4)} = \frac{1820}{4845} \approx 0.3757 \]

Округляя до тысячных, получаем:

\[ P(\text{все исправные}) \approx 0.376 \]

3. б) Вероятность, что все детали бракованные

Мы имеем 4 бракованные детали, и нам нужно выбрать все 4.

Количество благоприятных исходов:

\[ C(4, 4) = 1 \]

Теперь вычислим вероятность:

\[ P(\text{все бракованные}) = \frac{C(4, 4)}{C(20, 4)} = \frac{1}{4845} \approx 0.000206 \]

Округляя до стотысячных, получаем:

\[ P(\text{все бракованные}) \approx 0.00021 \]

4. в) Вероятность, что хотя бы одна деталь бракованная

Для этого события удобно использовать дополняющее событие: вероятность того, что все детали исправные.

\[ P(\text{хотя бы одна бракованная}) = 1 - P(\text{все исправные}) \approx 1 - 0.3757 = 0.6243 \]

Округляя до тысячных, получаем:

\[ P(\text{хотя бы одна бракованная}) \approx 0.624 \]

5. г) Вероятность, что будет поровну исправных и бракованных

В этом случае нам нужно выбрать 2 исправные и 2 бракованные детали.

Количество благоприятных исходов:

\[ C(16, 2) \times C(4, 2) = \left(\frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16 \times 15}{2 \times 1} = 120\right) \times \left(\frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\right) = 120 \times 6 = 720 \]

Теперь вычислим вероятность:

\[ P(\text{поровну исправных и бракованных}) = \frac{C(16, 2) \times C(4, 2)}{C(20, 4)} = \frac{720}{4845} \approx 0.1487 \]

Округляя до тысячных, получаем:

\[ P(\text{поровну исправных и бракованных}) \approx 0.149 \]

Итоговые ответы:

• а) Вероятность, что все детали исправные: 0.376
• б) Вероятность, что все детали бракованные: 0.00021
• в) Вероятность, что хотя бы одна деталь бракованная: 0.624
• г) Вероятность, что будет поровну исправных и бракованных: 0.149