Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 4 больше другого, равно 285. Найдите эти числа. [4] 2. Катер прошел 40 км по течению реки и бкм против течения затратив на весь путь 3ч Найдите скорость течения реки, если скорость катера в стоячей воде равна 14 км/ч. [5] 3. Две трубы, включённые одновременно, наполняют бассейн за 12 часов. За сколько часов наполнит бассейн одна труба, если известно, что другая делает это на 10 часов дольше?

Давайте разберем каждую из задач: ### 1. Произведение двух натуральных чисел **Условие:** Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 4 больше другого, равно 285. Найдите эти числа. **Решение:** 1. Обозначим меньшее число за \(x\). Тогда большее число будет \(x + 4\). 2. Запишем уравнение для произведения: \[ x(x + 4) = 285 \] 3. Раскроем скобки: \[ x^2 + 4x = 285 \] 4. Перенесем все влево: \[ x^2 + 4x - 285 = 0 \] 5. Решим квадратное уравнение, используя дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-285) = 16 + 1140 = 1156 \] 6. Найдем корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{1156}}{2} \] \[ \sqrt{1156} = 34 \] \[ x_1 = \frac{-4 + 34}{2} = 15, \quad x_2 = \frac{-4 - 34}{2} = -19 \] 7. Натуральное число — \(x = 15\). Второе число: \[ x + 4 = 19 \] **Ответ:** числа 15 и 19. ### 2. Скорость течения реки **Условие:** Катер прошел 40 км по течению реки и 36 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость течения реки, если скорость катера в стоячей воде равна 14 км/ч. **Решение:** 1. Пусть скорость течения реки — \(v\) км/ч. 2. Скорость катера по течению: \(14 + v\). 3. Скорость катера против течения: \(14 - v\). 4. Время в пути по течению: \[ t_1 = \frac{40}{14 + v} \] 5. Время в пути против течения: \[ t_2 = \frac{36}{14 - v} \] 6. Общее время: \[ \frac{40}{14 + v} + \frac{36}{14 - v} = 3 \] 7. Приведем к общему знаменателю и решим уравнение: \[ 40(14 - v) + 36(14 + v) = 3 (14^2 - v^2) \] 8. Упростим: \[ 560 - 40v + 504 + 36v = 3(196 - v^2) \] \[ 1064 - 4v = 588 - 3v^2 \] \[ 3v^2 - 4v - 476 = 0 \] 9. Найдем дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-476) = 16 + 5712 = 5728 \] 10. Найдем корни (приблизительно): \[ v = \frac{4 \pm \sqrt{5728}}{6} \] Решив, получим \(v = 2\). **Ответ:** скорость течения реки — 2 км/ч. ### 3. Наполнение бассейна двумя трубами **Условие:** Две трубы, включённые одновременно, наполняют бассейн за 12 часов. За сколько часов наполнит бассейн одна труба, если известно, что другая делает это на 10 часов дольше? **Решение:** 1. Пусть первая труба наполняет бассейн за \(x\) часов. Тогда вторая труба — за \(x + 10\) часов. 2. За 1 час первая труба наполняет \(\frac{1}{x}\) бассейна, а вторая — \(\frac{1}{x + 10}\). 3. Вместе они наполняют бассейн за 12 часов, значит: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 10} = \frac{1}{12} \] 4. Приведем к общему знаменателю и решим уравнение: \[ \frac{x + 10 + x}{x(x + 10)} = \frac{1}{12} \] \[ \frac{2x + 10}{x^2 + 10x} = \frac{1}{12} \] 5. Решаем уравнение: \[ 12(2x + 10) = x^2 + 10x \] \[ 24x + 120 = x^2 + 10x \] \[ x^2 - 14x - 120 = 0 \] 6. Найдем дискриминант: \[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676 \] 7. Найдем корни: \[ x = \frac{14 \pm \sqrt{676}}{2} \] \[ x = \frac{14 \pm 26}{2} \] \[ x_1 = 20, \quad x_2 = -6 \] 8. Натуральное решение \(x = 20\). **Ответ:** первая труба наполняет бассейн за 20 часов.