Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 4 больше другого, равно 285. Найдите эти числа. [4] 2. Катер прошел 40 км по течению реки и бкм против течения затратив на…

Давайте разберем каждую из задач:

1. Произведение двух натуральных чисел

Условие: Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 4 больше другого, равно 285. Найдите эти числа.

Решение:

1. Обозначим меньшее число за \(x\). Тогда большее число будет \(x + 4\).

2. Запишем уравнение для произведения: \[ x(x + 4) = 285 \]

3. Раскроем скобки: \[ x^2 + 4x = 285 \]

4. Перенесем все влево: \[ x^2 + 4x - 285 = 0 \]

5. Решим квадратное уравнение, используя дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-285) = 16 + 1140 = 1156 \]

6. Найдем корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{1156}}{2} \] \[ \sqrt{1156} = 34 \] \[ x_1 = \frac{-4 + 34}{2} = 15, \quad x_2 = \frac{-4 - 34}{2} = -19 \]

7. Натуральное число — \(x = 15\). Второе число: \[ x + 4 = 19 \]

Ответ: числа 15 и 19.

2. Скорость течения реки

Условие: Катер прошел 40 км по течению реки и 36 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость течения реки, если скорость катера в стоячей воде равна 14 км/ч.

Решение:

1. Пусть скорость течения реки — \(v\) км/ч.

2. Скорость катера по течению: \(14 + v\).

3. Скорость катера против течения: \(14 - v\).

4. Время в пути по течению: \[ t_1 = \frac{40}{14 + v} \]

5. Время в пути против течения: \[ t_2 = \frac{36}{14 - v} \]

6. Общее время: \[ \frac{40}{14 + v} + \frac{36}{14 - v} = 3 \]

7. Приведем к общему знаменателю и решим уравнение: \[ 40(14 - v) + 36(14 + v) = 3 (14^2 - v^2) \]

8. Упростим: \[ 560 - 40v + 504 + 36v = 3(196 - v^2) \] \[ 1064 - 4v = 588 - 3v^2 \] \[ 3v^2 - 4v - 476 = 0 \]

9. Найдем дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-476) = 16 + 5712 = 5728 \]

10. Найдем корни (приблизительно): \[ v = \frac{4 \pm \sqrt{5728}}{6} \] Решив, получим \(v = 2\).

Ответ: скорость течения реки — 2 км/ч.

3. Наполнение бассейна двумя трубами

Условие: Две трубы, включённые одновременно, наполняют бассейн за 12 часов. За сколько часов наполнит бассейн одна труба, если известно, что другая делает это на 10 часов дольше?

Решение:

1. Пусть первая труба наполняет бассейн за \(x\) часов. Тогда вторая труба — за \(x + 10\) часов.

2. За 1 час первая труба наполняет \(\frac{1}{x}\) бассейна, а вторая — \(\frac{1}{x + 10}\).

3. Вместе они наполняют бассейн за 12 часов, значит: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 10} = \frac{1}{12} \]

4. Приведем к общему знаменателю и решим уравнение: \[ \frac{x + 10 + x}{x(x + 10)} = \frac{1}{12} \] \[ \frac{2x + 10}{x^2 + 10x} = \frac{1}{12} \]

5. Решаем уравнение: \[ 12(2x + 10) = x^2 + 10x \] \[ 24x + 120 = x^2 + 10x \] \[ x^2 - 14x - 120 = 0 \]

6. Найдем дискриминант: \[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676 \]

7. Найдем корни: \[ x = \frac{14 \pm \sqrt{676}}{2} \] \[ x = \frac{14 \pm 26}{2} \] \[ x_1 = 20, \quad x_2 = -6 \]

8. Натуральное решение \(x = 20\).

Ответ: первая труба наполняет бассейн за 20 часов.