Найдите вероятность того что четвёрка выглядит ровно два раза если игральную кость бросают в восемь раз

Давайте решим задачу о вероятности того, что четвёрка выпадет ровно два раза при восьми бросках игральной кости.

Шаг 1: Определим параметры задачи

1. У нас есть игральная кость с 6 гранями. Вероятность того, что при броске кости выпадет четвёрка, составляет: \[ p = \frac{1}{6} \]
2. Вероятность того, что не выпадет четвёрка, составляет: \[ q = 1 - p = \frac{5}{6} \]
3. Мы бросаем кость 8 раз, и нам нужно, чтобы четвёрка выпала ровно 2 раза.

Шаг 2: Используем формулу биномиального распределения

Вероятность того, что событие произойдёт ровно \( k \) раз (в нашем случае \( k = 2 \)) в \( n \) испытаниях (в нашем случае \( n = 8 \)) можно определить с помощью биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Шаг 3: Подсчёт биномиального коэффициента

Подставим наши значения в формулу для \( C(8, 2) \):

\[ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \]

Шаг 4: Подсчёт вероятности

Теперь можно подставить все значения в формулу вероятности:

\[ P(X = 2) = C(8, 2) \cdot p^2 \cdot q^{8-2} \]

Подставим найденные значения:

\[ P(X = 2) = 28 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{6} \]

Шаг 5: Вычисляем

Вычислим:

1. \( \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36} \)
2. \( \left(\frac{5}{6}\right)^{6} = \frac{15625}{46656} \) (по необходимости, используем калькулятор для этого)

Теперь подставим \( P(X = 2) \):

\[ P(X = 2) = 28 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{15625}{46656} \]

Теперь мы можем вычислить:

\[ P(X = 2) = 28 \cdot \frac{15625}{36 \cdot 46656} = \frac{437500}{1679616} \]

Шаг 6: Ответ

Таким образом, вероятность того, что четвёрка выпадет ровно два раза при восьми бросках игральной кости, составляет:

\[ P(X = 2) \approx 0.2602 \text{ (или около 26.02\% )} \]

Это окончательный ответ для данной задачи. Если возникнут вопросы по решению, не стесняйтесь спрашивать!