Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии ( � � ) , (b n ), если � 1 = 6 , b 1 =6, � = 1 2 . q= 2 1 .
Для решения задачи найдем сумму первых шести членов геометрической прогрессии, где:
- Первый член прогрессии \( b_1 = 6 \)
- Знаменатель прогрессии \( q = \frac{1}{2} \)
Шаг 1: Определим формулу для n-го члена геометрической прогрессии
n-й член геометрической прогрессии определяется по формуле:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]
Шаг 2: Найдем первые шесть членов прогрессии
Используя формулу, подставляем значения:
- \( b_1 = 6 \)
- \( b_2 = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2-1} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \)
- \( b_3 = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3-1} = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 6 \cdot \frac{1}{4} = 1.5 \)
- \( b_4 = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4-1} = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 6 \cdot \frac{1}{8} = 0.75 \)
- \( b_5 = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5-1} = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 6 \cdot \frac{1}{16} = 0.375 \)
- \( b_6 = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6-1} = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 6 \cdot \frac{1}{32} = 0.1875 \)
Теперь у нас есть первые шесть членов прогрессии:
- \( b_1 = 6 \)
- \( b_2 = 3 \)
- \( b_3 = 1.5 \)
- \( b_4 = 0.75 \)
- \( b_5 = 0.375 \)
- \( b_6 = 0.1875 \)
Шаг 3: Найдем сумму первых шести членов
Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
\[ S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \]
Подставляем \( b_1 = 6 \), \( q = \frac{1}{2} \) и \( n = 6 \):
\[ S_6 = 6 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^6}{1 - \frac{1}{2}} = 6 \cdot \frac{1 - \frac{1}{64}}{\frac{1}{2}} = 6 \cdot \frac{\frac{63}{64}}{\frac{1}{2}} = 6 \cdot \frac{63}{32} \]
Теперь считаем:
\[ S_6 = \frac{6 \cdot 63}{32} = \frac{378}{32} = 11.8125 \]
Итог
Сумма первых шести членов геометрической прогрессии составляет \( S_6 = 11.8125 \).
