Для решения задачи найдем сумму первых шести членов геометрической прогрессии, где:
- Первый член прогрессии ( b_1 = 6 )
- Знаменатель прогрессии ( q = \frac{1}{2} )
Шаг 1: Определим формулу для n-го члена геометрической прогрессии
n-й член геометрической прогрессии определяется по формуле:
[
b_n = b_1 \cdot q^{n-1}
]
Шаг 2: Найдем первые шесть членов прогрессии
Используя формулу, подставляем значения:
- ( b_1 = 6 )
- ( b_2 = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2-1} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 )
- ( b_3 = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3-1} = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 6 \cdot \frac{1}{4} = 1.5 )
- ( b_4 = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4-1} = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 6 \cdot \frac{1}{8} = 0.75 )
- ( b_5 = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5-1} = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 6 \cdot \frac{1}{16} = 0.375 )
- ( b_6 = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6-1} = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 6 \cdot \frac{1}{32} = 0.1875 )
Теперь у нас есть первые шесть членов прогрессии:
- ( b_1 = 6 )
- ( b_2 = 3 )
- ( b_3 = 1.5 )
- ( b_4 = 0.75 )
- ( b_5 = 0.375 )
- ( b_6 = 0.1875 )
Шаг 3: Найдем сумму первых шести членов
Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
[
S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}
]
Подставляем ( b_1 = 6 ), ( q = \frac{1}{2} ) и ( n = 6 ):
[
S_6 = 6 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^6}{1 - \frac{1}{2}} = 6 \cdot \frac{1 - \frac{1}{64}}{\frac{1}{2}} = 6 \cdot \frac{\frac{63}{64}}{\frac{1}{2}} = 6 \cdot \frac{63}{32}
]
Теперь считаем:
[
S_6 = \frac{6 \cdot 63}{32} = \frac{378}{32} = 11.8125
]
Итог
Сумма первых шести членов геометрической прогрессии составляет ( S_6 = 11.8125 ).
