2) 3x ^ 2 - 6x - 7 = 0 реши дискреминант

Чтобы решить уравнение \(3x^2 - 6x - 7 = 0\) с использованием дискриминанта, необходимо выполнить несколько шагов. Уравнение имеет стандартный вид квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), где в нашем случае:

• \(a = 3\)
• \(b = -6\)
• \(c = -7\)

Шаг 1: Находим дискриминант

Дискриминант \(D\) квадратного уравнения определяется по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac \]

Подставим наши значения \(a\), \(b\) и \(c\):

\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) \] \[ D = 36 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) \]

Теперь вычисляем \(4 \cdot 3 \cdot (-7)\):

\[ 4 \cdot 3 = 12 \] \[ 12 \cdot (-7) = -84 \]

Подставляем это значение в уравнение для \(D\):

\[ D = 36 - (-84) \] \[ D = 36 + 84 \] \[ D = 120 \]

Шаг 2: Анализ дискриминанта

Дискриминант \(D\) может иметь следующие значения:

• Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если \(D = 0\), то уравнение имеет один двойной корень.
• Если \(D < 0\), то уравнение не имеет действительных корней.

В нашем случае \(D = 120 > 0\), следовательно, у нас будет два различных действительных корня.

Шаг 3: Находим корни уравнения

Корни квадратного уравнения можно найти с помощью формулы:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Теперь подставим значения \(b\), \(D\) и \(a\):

• \(b = -6\)
• \(D = 120\)
• \(a = 3\)

Подставляем в формулу для корней:

\[ x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{120}}{2 \cdot 3} \] \[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{120}}{6} \]

Теперь найдём \(\sqrt{120}\):

\[ \sqrt{120} = \sqrt{4 \cdot 30} = 2\sqrt{30} \]

Подставляем это значение обратно в формулу корней:

\[ x_{1,2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{30}}{6} \]

Можно упростить это выражение:

\[ x_{1,2} = 1 \pm \frac{\sqrt{30}}{3} \]

Ответ

Таким образом, корни уравнения \(3x^2 - 6x - 7 = 0\) равны:

\[ x_1 = 1 + \frac{\sqrt{30}}{3} \quad и \quad x_2 = 1 - \frac{\sqrt{30}}{3} \]

Если у тебя есть вопросы по этому решению или другим темам, не стесняйся спрашивать!