найдите вероятность появления ровно трёх орлов если монету бросают 9 раз
Чтобы найти вероятность появления ровно трёх орлов при бросании монеты 9 раз, мы используем формулу для биномиального распределения. Вероятность успеха (в нашем случае — появления орла) в одном испытании равна \( p = 0.5 \) (поскольку у нас равновероятные шансы на орла или решку).
Шаги решения:
Определим параметры задачи:
- \( n = 9 \) (количество бросков)
- \( k = 3 \) (желаемое количество орлов)
- \( p = 0.5 \) (вероятность получить орла в одном броске)
- \( q = 1 - p = 0.5 \) (вероятность получить решку в одном броске)
Используем формулу биномиального распределения: Формула для вычисления вероятности \( P(X = k) \) в биномиальном распределении выглядит следующим образом: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \] где \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается как: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Подставим значения в формулу: \[ P(X = 3) = \binom{9}{3} (0.5)^3 (0.5)^{9-3} \]
Вычислим биномиальный коэффициент: \[ \binom{9}{3} = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 \]
Теперь подставляем все в формулу: \[ P(X = 3) = 84 \times (0.5)^3 \times (0.5)^{6} = 84 \times (0.5)^{9} \] \[ (0.5)^9 = \frac{1}{512} \] Следовательно: \[ P(X = 3) = 84 \times \frac{1}{512} = \frac{84}{512} = \frac{21}{128} \]
Ответ:
Вероятность появления ровно трёх орлов при 9 бросках монеты составляет \( \frac{21}{128} \) или примерно \( 0.164 \) (16.4%).
Дополнительные объяснения:
- Эта задача иллюстрирует применение биномиального распределения, которое используется для моделирования количества успехов в серии независимых испытаний. Каждый бросок монеты является независимым событием, что и позволяет нам использовать эту формулу.
