845

Для задачи 846 из изображения решим уравнение. Приведём решение с пошаговыми объяснениями: Уравнение: \[ \frac{3}{x} = \frac{1}{2} + \frac{3}{1+x} \] **Шаг 1: Приведение дробей к общему знаменателю** Общий знаменатель для \(\frac{3}{x}\), \(\frac{1}{2}\), и \(\frac{3}{1+x}\) будет \(2x(1+x)\). Перепишем дроби с общим знаменателем: \[ \frac{3}{x} = \frac{3 \cdot 2(1+x)}{2x(1+x)} = \frac{6(1+x)}{2x(1+x)} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot x(1+x)}{2x(1+x)} = \frac{x(1+x)}{2x(1+x)} \] \[ \frac{3}{1+x} = \frac{3 \cdot 2x}{2x(1+x)} = \frac{6x}{2x(1+x)} \] **Шаг 2: Сложение дробей справа** Теперь сложим дроби справа: \[ \frac{x(1+x)}{2x(1+x)} + \frac{6x}{2x(1+x)} = \frac{x(1+x) + 6x}{2x(1+x)} \] Раскрываем скобки в числителе: \[ x(1+x) + 6x = x + x^2 + 6x = x^2 + 7x \] Итак, уравнение становится: \[ \frac{6(1+x)}{2x(1+x)} = \frac{x^2 + 7x}{2x(1+x)} \] **Шаг 3: Уравнение с одинаковыми знаменателями** Так как у нас одинаковые знаменатели, можем приравнять числители: \[ 6(1+x) = x^2 + 7x \] **Шаг 4: Раскрытие скобок и упрощение** Раскроем скобки: \[ 6 + 6x = x^2 + 7x \] Переносим все в одну часть уравнения: \[ x^2 + 7x - 6x - 6 = 0 \] \[ x^2 + x - 6 = 0 \] **Шаг 5: Решение квадратного уравнения** Теперь решим квадратное уравнение: \[ x^2 + x - 6 = 0 \] Используем формулу квадратичного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -6\). \[ b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \] Корни уравнения: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \] Рассчитаем оба решения: \[ x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \] **Ответ:** Уравнение имеет два решения: \(x = 2\) и \(x = -3\). Поскольку условие не ограничивает область определения, оба значения являются корректными.