845

Для задачи 846 из изображения решим уравнение. Приведём решение с пошаговыми объяснениями:

Уравнение: \[ \frac{3}{x} = \frac{1}{2} + \frac{3}{1+x} \]

Шаг 1: Приведение дробей к общему знаменателю

Общий знаменатель для \(\frac{3}{x}\), \(\frac{1}{2}\), и \(\frac{3}{1+x}\) будет \(2x(1+x)\).

Перепишем дроби с общим знаменателем:

\[ \frac{3}{x} = \frac{3 \cdot 2(1+x)}{2x(1+x)} = \frac{6(1+x)}{2x(1+x)} \]

\[ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot x(1+x)}{2x(1+x)} = \frac{x(1+x)}{2x(1+x)} \]

\[ \frac{3}{1+x} = \frac{3 \cdot 2x}{2x(1+x)} = \frac{6x}{2x(1+x)} \]

Шаг 2: Сложение дробей справа

Теперь сложим дроби справа:

\[ \frac{x(1+x)}{2x(1+x)} + \frac{6x}{2x(1+x)} = \frac{x(1+x) + 6x}{2x(1+x)} \]

Раскрываем скобки в числителе:

\[ x(1+x) + 6x = x + x^2 + 6x = x^2 + 7x \]

Итак, уравнение становится: \[ \frac{6(1+x)}{2x(1+x)} = \frac{x^2 + 7x}{2x(1+x)} \]

Шаг 3: Уравнение с одинаковыми знаменателями

Так как у нас одинаковые знаменатели, можем приравнять числители: \[ 6(1+x) = x^2 + 7x \]

Шаг 4: Раскрытие скобок и упрощение

Раскроем скобки: \[ 6 + 6x = x^2 + 7x \]

Переносим все в одну часть уравнения: \[ x^2 + 7x - 6x - 6 = 0 \] \[ x^2 + x - 6 = 0 \]

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Теперь решим квадратное уравнение: \[ x^2 + x - 6 = 0 \]

Используем формулу квадратичного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -6\).

\[ b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]

Корни уравнения: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \]

Рассчитаем оба решения: \[ x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Ответ:

Уравнение имеет два решения: \(x = 2\) и \(x = -3\).

Поскольку условие не ограничивает область определения, оба значения являются корректными.