Исследуйте на монотонность функцию: y = |x-3| + 1.

Чтобы исследовать монотонность функции \( y = |x - 3| + 1 \), начнем с определения смысла монотонности. Монотонность функции означает, что функция либо возрастает, либо убывает на каком-то интервале. Этот процесс обычно включает в себя нахождение производной функции и определение знака этой производной. ### Шаг 1: Найдем производную функции Функция \( y = |x - 3| + 1 \) включает модуль, поэтому нам нужно рассмотреть два случая для его раскрытия: 1. **Случай 1:** \( x - 3 \geq 0 \) (или \( x \geq 3 \)). В этом случае \( |x - 3| = x - 3 \). \[ y = x - 3 + 1 = x - 2 \] 2. **Случай 2:** \( x - 3 < 0 \) (или \( x < 3 \)). Здесь \( |x - 3| = -(x - 3) = -x + 3 \). \[ y = -x + 3 + 1 = -x + 4 \] Теперь мы можем записать функцию в виде двух частей: - \( y = x - 2 \) при \( x \geq 3 \) - \( y = -x + 4 \) при \( x < 3 \) ### Шаг 2: Найдем производную Теперь найдем производные для обеих частей: 1. Для \( y = x - 2 \): \[ \frac{dy}{dx} = 1 \] 2. Для \( y = -x + 4 \): \[ \frac{dy}{dx} = -1 \] ### Шаг 3: Определим монотонность Теперь проанализируем производные на разных интервалах: - **При \( x < 3 \)**: \(\frac{dy}{dx} = -1\) — функция убывает. - **При \( x \geq 3 \)**: \(\frac{dy}{dx} = 1\) — функция возрастает. ### Шаг 4: Подводим итог Теперь можем подвести итоги: - Функция убывает на interval \( (-\infty, 3) \). - Функция возрастает на interval \( [3, +\infty) \). ### График функции Графически функция \( y = |x - 3| + 1 \) будет представлять собой "V"-образную фигуру с вершиной в точке \( (3, 1) \). На отрезке до трех она убывает, а после трех — возрастает. Эти наблюдения позволяют четко исследовать монотонность функции и делают понятным, как она ведет себя на разных интервалах.