Исследуйте на монотонность функцию: y = |x-3| + 1.

Чтобы исследовать монотонность функции \( y = |x - 3| + 1 \), начнем с определения смысла монотонности.

Монотонность функции означает, что функция либо возрастает, либо убывает на каком-то интервале. Этот процесс обычно включает в себя нахождение производной функции и определение знака этой производной.

Шаг 1: Найдем производную функции

Функция \( y = |x - 3| + 1 \) включает модуль, поэтому нам нужно рассмотреть два случая для его раскрытия:

1. Случай 1: \( x - 3 \geq 0 \) (или \( x \geq 3 \)). В этом случае \( |x - 3| = x - 3 \). \[ y = x - 3 + 1 = x - 2 \]

2. Случай 2: \( x - 3 < 0 \) (или \( x < 3 \)). Здесь \( |x - 3| = -(x - 3) = -x + 3 \). \[ y = -x + 3 + 1 = -x + 4 \]

Теперь мы можем записать функцию в виде двух частей:

• \( y = x - 2 \) при \( x \geq 3 \)
• \( y = -x + 4 \) при \( x < 3 \)

Шаг 2: Найдем производную

Теперь найдем производные для обеих частей:

1. Для \( y = x - 2 \): \[ \frac{dy}{dx} = 1 \]

2. Для \( y = -x + 4 \): \[ \frac{dy}{dx} = -1 \]

Шаг 3: Определим монотонность

Теперь проанализируем производные на разных интервалах:

• При \( x < 3 \): \(\frac{dy}{dx} = -1\) — функция убывает.
• При \( x \geq 3 \): \(\frac{dy}{dx} = 1\) — функция возрастает.

Шаг 4: Подводим итог

Теперь можем подвести итоги:

• Функция убывает на interval \( (-\infty, 3) \).
• Функция возрастает на interval \( [3, +\infty) \).

График функции

Графически функция \( y = |x - 3| + 1 \) будет представлять собой "V"-образную фигуру с вершиной в точке \( (3, 1) \). На отрезке до трех она убывает, а после трех — возрастает.

Эти наблюдения позволяют четко исследовать монотонность функции и делают понятным, как она ведет себя на разных интервалах.