В семье Ковалёвых 4 ребенка: 2 девочки и 2 мальчика. Дети решили организовать очередь для игры в приставку. Выпишите все элементарные событие. Считая их равновозможными, найдите…

Для начала определим все элементарные события, которые описывают различные последовательности, в которых дети могут играть в приставку. В семье Ковалёвых 4 ребенка: 2 девочки (обозначим их как Д1 и Д2) и 2 мальчика (обозначим их как М1 и М2).

Шаг 1: Вывод всех элементарных событий

Чтобы организовать очередь из 4 детей (2 девочки и 2 мальчика), можно использовать формулу для расчета количества перестановок:

\[ N = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2!} \]

где \( n \) — общее количество объектов, \( n_1 \) и \( n_2 \) — количество одинаковых объектов. В нашем случае:

• Общее количество детей \( n = 4 \) (2 девочки + 2 мальчика).
• Количество девочек \( n_1 = 2 \).
• Количество мальчиков \( n_2 = 2 \).

Поэтому количество перестановок равно:

\[ N = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6 \]

Таким образом, все возможные элементарные события (очередности) следующие:

1. Д1, Д2, М1, М2
2. Д1, М1, Д2, М2
3. Д1, М1, М2, Д2
4. М1, Д1, Д2, М2
5. М1, Д2, Д1, М2
6. М2, Д1, Д2, М1
7. М2, Д1, М1, Д2
8. Д2, Д1, М1, М2
9. Д2, М1, Д1, М2
10. Д2, М1, М2, Д1
11. М1, Д2, Д1, М2
12. М2, Д2, Д1, М1

Это все 12 вариантов, из которых нам надо выписать 12.

Шаг 2: Находим вероятность для каждого случая

a. Вероятность того, что первой будет играть девочка

Из 12 вариантов, в которых первой идет девочка, можем выбрать:

1. Д1, …
2. Д2, …

Теперь посчитаем, сколько таких последовательностей:

• Если первой играет Д1, оставшиеся (Д2, М1, М2) могут располагаться в любых последовательностях: \(3! = 6\) вариантов.
• Если первой играет Д2, оставшиеся (Д1, М1, М2) могут также располагаться в любых последовательностях: \(3! = 6\) вариантов.

Таким образом, всего возможных последовательностей, где первая девочка:

\[ 6 + 6 = 12 \]

Общее количество элементарных событий: 12. Следовательно, вероятность того, что первой будет девочка:

\[ P(\text{первой девочка}) = \frac{12}{12} = 1 \]

b. Вероятность того, что первой и последней будет играть девочка

Предположим, что первой играет девочка (Д1) и последней тоже девочка (Д2). Посредине остаются два мальчика (М1, М2):

С последовательностью: Д1, …, Д2.

Количество возможных порядков для М1 и М2:

\[ 2! = 2 \]

Аналогично, если первой будет Д2, а последней Д1:

Количество возможных порядков тоже:

\[ 2! = 2 \]

Итак, всего последовательностей, где первая и последняя девочка:

\[ 2 + 2 = 4 \]

Следовательно, вероятность того, что первой и последней будет девочка:

\[ P(\text{первой и последней девочка}) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]

c. Вероятность чередования мальчика и девочки

Работаем с последовательностями, где стоит четная чередующаяся модель:

Получаем возможные последовательности: М, Д, М, Д или Д, М, Д, М. Кто идет первым, м или д, тем самым определяет порядок.

1. М1, Д1, М2, Д2
2. М1, Д2, М2, Д1
3. М2, Д1, М1, Д2
4. М2, Д2, М1, Д1
5. Д1, М1, Д2, М2
6. Д1, М2, Д2, М1
7. Д2, М1, Д1, М2
8. Д2, М2, Д1, М1

Только 2 последовательности:

1. Д1, М1, Д2, М2
2. М1, Д1, М2, Д2

Следовательно, вероятность чередования мальчика и девочки:

\[ P(\text{чередование}) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]

Ответы:

a. Вероятность, что первой будет девочка: \(1\)

b. Вероятность, что первой и последней будет девочка: \(\frac{1}{3}\)

c. Вероятность чередования мальчика и девочки: \(\frac{1}{3}\)