Золото и серебро сплавляют, взяв в одном случае равные объёмы этих металлов, а во втором - равные массы. Во сколько раз будет отличаться плотность сплава в первом и во втором случаях? Считать, что объём сплава равен сумме сплавляемых металлов.
Чтобы понять, как плотности сплавов будут отличаться в двух случаях - при смешивании равных объёмов и равных масс золота и серебра - давайте разберем эту задачу пошагово.
### Дано:
- **Плотность золота (ρ₁)** ≈ 19,3 г/см³
- **Плотность серебра (ρ₂)** ≈ 10,5 г/см³
### Случай 1: Равные объёмы
1. **Обозначим объёмы:**
- Пусть объем золота V₁ = V
- Пусть объем серебра V₂ = V
2. **Массы металлов:**
- Масса золота: \( m₁ = ρ₁ \cdot V = 19,3 \cdot V \) (г)
- Масса серебра: \( m₂ = ρ₂ \cdot V = 10,5 \cdot V \) (г)
3. **Общая масса сплава:**
\[
m_{total1} = m₁ + m₂ = (19,3 \cdot V) + (10,5 \cdot V) = 29,8 \cdot V \text{ (г)}
\]
4. **Общий объём сплава:**
\[
V_{total1} = V + V = 2V \text{ (см³)}
\]
5. **Плотность сплава (ρ₁):**
\[
ρ_{total1} = \frac{m_{total1}}{V_{total1}} = \frac{29,8 \cdot V}{2V} = \frac{29,8}{2} \approx 14,9 \text{ (г/см³)}
\]
### Случай 2: Равные массы
1. **Обозначим массы:**
- Пусть масса золота m₁ = M (г)
- Пусть масса серебра m₂ = M (г)
2. **Объёмы металлов:**
- Объём золота: \( V₁ = \frac{M}{ρ₁} = \frac{M}{19,3} \)
- Объём серебра: \( V₂ = \frac{M}{ρ₂} = \frac{M}{10,5} \)
3. **Общий объём сплава:**
\[
V_{total2} = V₁ + V₂ = \frac{M}{19,3} + \frac{M}{10,5}
\]
Для удобства, найдем общий знаменатель:
\[
V_{total2} = M \left(\frac{1}{19,3} + \frac{1}{10,5}\right) = M \left(\frac{10,5 + 19,3}{19,3 \cdot 10,5}\right) = M \left(\frac{29,8}{203,15}\right)
\]
4. **Общая масса сплава:**
\[
m_{total2} = M + M = 2M \text{ (г)}
\]
5. **Плотность сплава (ρ₂):**
\[
ρ_{total2} = \frac{m_{total2}}{V_{total2}} = \frac{2M}{M \cdot \left(\frac{29,8}{203,15}\right)} = \frac{2 \cdot 203,15}{29,8} \approx 13,6 \text{ (г/см³)}
\]
### Сравнение плотностей сплавов
Теперь, когда мы нашли плотности обоих сплавов:
- Плотность сплава при равных объёмах: \( ρ_{total1} \approx 14,9 \text{ г/см³} \)
- Плотность сплава при равных массах: \( ρ_{total2} \approx 13,6 \text{ г/см³} \)
### Во сколько раз отличаются плотности?
Теперь найдем отношение плотностей:
\[
\frac{ρ_{total1}}{ρ_{total2}} = \frac{14,9}{13,6} \approx 1,09
\]
### Ответ:
Плотность сплава при равных объёмах больше, чем плотность сплава при равных массах примерно в 1,09 раза.
