Золото и серебро сплавляют, взяв в одном случае равные объёмы этих металлов, а во втором - равные массы. Во сколько раз будет отличаться плотность сплава в первом и во втором…

Чтобы понять, как плотности сплавов будут отличаться в двух случаях - при смешивании равных объёмов и равных масс золота и серебра - давайте разберем эту задачу пошагово.

Дано:

• Плотность золота (ρ₁) ≈ 19,3 г/см³
• Плотность серебра (ρ₂) ≈ 10,5 г/см³

Случай 1: Равные объёмы

1. Обозначим объёмы:

   • Пусть объем золота V₁ = V
   • Пусть объем серебра V₂ = V

2. Массы металлов:

   • Масса золота: \( m₁ = ρ₁ \cdot V = 19,3 \cdot V \) (г)
   • Масса серебра: \( m₂ = ρ₂ \cdot V = 10,5 \cdot V \) (г)

3. Общая масса сплава: \[ m_{total1} = m₁ + m₂ = (19,3 \cdot V) + (10,5 \cdot V) = 29,8 \cdot V \text{ (г)} \]

4. Общий объём сплава: \[ V_{total1} = V + V = 2V \text{ (см³)} \]

5. Плотность сплава (ρ₁): \[ ρ_{total1} = \frac{m_{total1}}{V_{total1}} = \frac{29,8 \cdot V}{2V} = \frac{29,8}{2} \approx 14,9 \text{ (г/см³)} \]

Случай 2: Равные массы

1. Обозначим массы:

   • Пусть масса золота m₁ = M (г)
   • Пусть масса серебра m₂ = M (г)

2. Объёмы металлов:

   • Объём золота: \( V₁ = \frac{M}{ρ₁} = \frac{M}{19,3} \)
   • Объём серебра: \( V₂ = \frac{M}{ρ₂} = \frac{M}{10,5} \)

3. Общий объём сплава: \[ V_{total2} = V₁ + V₂ = \frac{M}{19,3} + \frac{M}{10,5} \] Для удобства, найдем общий знаменатель: \[ V_{total2} = M \left(\frac{1}{19,3} + \frac{1}{10,5}\right) = M \left(\frac{10,5 + 19,3}{19,3 \cdot 10,5}\right) = M \left(\frac{29,8}{203,15}\right) \]

4. Общая масса сплава: \[ m_{total2} = M + M = 2M \text{ (г)} \]

5. Плотность сплава (ρ₂): \[ ρ_{total2} = \frac{m_{total2}}{V_{total2}} = \frac{2M}{M \cdot \left(\frac{29,8}{203,15}\right)} = \frac{2 \cdot 203,15}{29,8} \approx 13,6 \text{ (г/см³)} \]

Сравнение плотностей сплавов

Теперь, когда мы нашли плотности обоих сплавов:

• Плотность сплава при равных объёмах: \( ρ_{total1} \approx 14,9 \text{ г/см³} \)
• Плотность сплава при равных массах: \( ρ_{total2} \approx 13,6 \text{ г/см³} \)

Во сколько раз отличаются плотности?

Теперь найдем отношение плотностей: \[ \frac{ρ_{total1}}{ρ_{total2}} = \frac{14,9}{13,6} \approx 1,09 \]

Ответ:

Плотность сплава при равных объёмах больше, чем плотность сплава при равных массах примерно в 1,09 раза.