Для решения этой задачи, давайте рассмотрим свойства математического маятника и, в частности, его период колебаний.
Формула для периода маятника:
Период ( T ) математического маятника можно определить с помощью следующей формулы:
[
T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}
]
где:
- ( T ) — период колебаний,
- ( L ) — длина маятника,
- ( g ) — ускорение свободного падения (примерно ( 9.81 , \text{м/с}^2 ) на поверхности Земли).
Данные из задачи:
- Первый маятник совершает ( 20 ) колебаний.
- Второй маятник совершает ( 10 ) колебаний.
- Количество колебаний за одно и то же время указывает на то, что для них один и тот же интервал времени.
Обозначим:
- ( T_1 ) — период первого маятника.
- ( T_2 ) — период второго маятника.
Мы знаем, что:
[
\text{количество колебаний} = \frac{\text{время}}{T}
]
Пусть ( t ) будет временем, за которое оба маятника совершили свои колебания. Тогда:
Для первого маятника:
[
20 = \frac{t}{T_1} \quad \Rightarrow \quad T_1 = \frac{t}{20}
]
Для второго маятника:
[
10 = \frac{t}{T_2} \quad \Rightarrow \quad T_2 = \frac{t}{10}
]
Теперь найдем отношение периодов:
[
\frac{T_1}{T_2} = \frac{\frac{t}{20}}{\frac{t}{10}} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}
]
Теперь выясним отношение длин маятников:
Согласно формуле периода, имеем:
[
\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{L_1}{L_2}} \Rightarrow \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 = \frac{L_1}{L_2}
]
Подставляя найденное отношение между периодами:
[
\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{L_1}{L_2} \quad \Rightarrow \quad \frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{4}
]
Таким образом, отношение длин математических маятников ( L_1 ) и ( L_2 ) равно:
[
\frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{4}
]
Ответ: Длина первого маятника в 4 раза меньше длины второго маятника.
