2/x^10-2/x+x^3-2x^4+sinx решить интеграл
Чтобы решить интеграл функции \( \frac{2}{x^{10}} - \frac{2}{x} + x^3 - 2x^4 + \sin x \), мы можем разложить его на отдельные интегралы и решить каждый из них по отдельности:
\[ \int \left( \frac{2}{x^{10}} - \frac{2}{x} + x^3 - 2x^4 + \sin x \right) dx = \int \frac{2}{x^{10}} \, dx - \int \frac{2}{x} \, dx + \int x^3 \, dx - 2 \int x^4 \, dx + \int \sin x \, dx \]
Теперь решим каждый интеграл по отдельности:
Интеграл \( \int \frac{2}{x^{10}} \, dx \):
Этот интеграл можно переписать как \( 2 \int x^{-10} \, dx \).
\[ 2 \int x^{-10} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{-9}}{-9} = -\frac{2}{9x^9} \]
Интеграл \( -\int \frac{2}{x} \, dx \):
Это прямой интеграл, который равен:
\[ -2 \ln |x| \]
Интеграл \( \int x^3 \, dx \):
Этот интеграл равен:
\[ \frac{x^{4}}{4} \]
Интеграл \( -2\int x^4 \, dx \):
Этот интеграл равен:
\[ -2 \cdot \frac{x^{5}}{5} = -\frac{2}{5}x^{5} \]
Интеграл \( \int \sin x \, dx \):
Это простой интеграл, который равен:
\[ -\cos x \]
Теперь соберем все части вместе:
\[ \int \left( \frac{2}{x^{10}} - \frac{2}{x} + x^3 - 2x^4 + \sin x \right) dx = -\frac{2}{9x^9} - 2 \ln |x| + \frac{x^4}{4} - \frac{2}{5}x^5 - \cos x + C \]
где \( C \) — произвольная константа интегрирования.
Таким образом, окончательный ответ будет:
\[ -\frac{2}{9x^9} - 2 \ln |x| + \frac{x^4}{4} - \frac{2}{5}x^5 - \cos x + C \]
