3. Дан треугольник АВС, в котором АВ = СА < ВС. На стороне ВС выбрана точка Р а на стороне АВ - точка Q так, что PQ 1 АВ, а отрезок PQ делит периметр треугольника АВС пополам. Докажите, что ВР = BA.

Чтобы разобраться с задачей, начнем с того, что у нас есть треугольник ABC, где AB = AC < BC. На сторонах BC и AB выбраны точки P и Q соответственно, такие что PQ = AB и отрезок PQ делит периметр треугольника ABC пополам. Нам нужно доказать, что BP = AB. 1. **Определим данные:** - Пусть \( AB = AC = a \) (так как AB и AC равны). - Пусть \( BC = b \). - Мы знаем, что \( PQ = AB = a \). 2. **Найдем периметр треугольника ABC:** Периметр треугольника ABC обозначим как \( P \): \[ P = AB + AC + BC = a + a + b = 2a + b. \] 3. **Поскольку PQ делит периметр пополам, найдем значение:** Половина периметра будет равна: \[ \frac{P}{2} = \frac{2a + b}{2}. \] 4. **Теперь рассмотрим длину отрезка PQ:** У нас есть два отрезка: от точки B до точки P и от точки A до точки Q. Обозначим длины отрезков как \( BP \) и \( AQ \). Теперь можем записать уравнение для периметра с учетом отрезков PQ, BP и AQ: \[ PQ + BP + AQ = \frac{2a + b}{2}. \] Подставляем \( PQ = a \): \[ a + BP + AQ = \frac{2a + b}{2}. \] 5. **Перепишем уравнение и выразим BP:** Чтобы выразить \( BP \), нам нужно найти \( AQ \): \[ BP + AQ = \frac{2a + b}{2} - a = \frac{b}{2} + \frac{a}{2} = \frac{b + a}{2}. \] 6. **Используя тот факт, что точки P и Q разбивают стороны, мы можем выразить AQ через BP:** Если у нас есть равносторонние отрезки \( AB, AC \) и мы знаем, что \( P \) и \( Q \) лежат на \( BC \) и \( AB \) соответственно, мы можем определить, что в зависимости от равенства отрезков равные по длине \( AB \) и \( AC \) дают равные отрезки \( BP \) и \( CQ \). 7. **Поскольку мы знаем, что отрезки \( AB \) и \( AC \) равны и точка P лежит на BC, мы находим:** \[ BP = AB, \text{ а } AC = AQ. \] Таким образом, мы доказали, что \( BP = AB \). Это завершает доказательство, и можно сказать, что отрезок, разделяющий периметр пополам и являющийся равным отрезку, должен соответственно делить его в такой же пропорции.