Давайте по порядку решим все предложенные задачи.
Задача 1: Решите уравнение
a) ( 3x^2 + 13x - 10 = 0 )
Для решения квадратного уравнения можно применить формулу дискриминанта:
Вычисляем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289.
]
Находим корни:
[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + 17}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3},
]
[
x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - 17}{6} = \frac{-30}{6} = -5.
]
Ответ: ( x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = -5 ).
b) ( 16x^2 = 49 )
Переписываем уравнение:
[
16x^2 - 49 = 0.
]
Это уравнение можно решить методом разности квадратов:
[
(4x - 7)(4x + 7) = 0.
]
Находим корни:
[
4x - 7 = 0 \implies x = \frac{7}{4},
]
[
4x + 7 = 0 \implies x = -\frac{7}{4}.
]
Ответ: ( x_1 = \frac{7}{4}, x_2 = -\frac{7}{4} ).
в) ( 2x^2 - 3x = 0 )
Вынесем ( x ):
[
x(2x - 3) = 0.
]
Находим корни:
[
x = 0 \quad (корень:из:нулевого:фактора),
]
[
2x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2}.
]
Ответ: ( x_1 = 0, x_2 = \frac{3}{2} ).
г) ( x^2 - 2x - 35 = 0 )
Находим дискриминант:
[
D = (-2)^2 - 4(1)(-35) = 4 + 140 = 144.
]
Находим корни:
[
x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = 7,
]
[
x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = -5.
]
Ответ: ( x_1 = 7, x_2 = -5 ).
Задача 2: Докажите тождество ( 4x^2 + 27x + 18 = (4x + 3)(x + 6) )
Раскроем скобки на правой стороне:
[
(4x + 3)(x + 6) = 4x^2 + 24x + 3x + 18 = 4x^2 + 27x + 18.
]
Сравним обе стороны:
Обе стороны равны, значит тождество доказано.
Задача 3: Сократите дробь
[
\frac{2x + 2}{1} = \frac{2(x + 1)}{1} = 2(x + 1).
]
Задача 4: Периметр прямоугольника равен 30 см, площадь 56 см².
Формулы:
Периметр ( P = 2(a + b) = 30 \implies a + b = 15 ).
Площадь ( S = ab = 56 ).
Система уравнений:
Из первого уравнения выразим ( b ):
[
b = 15 - a.
]
Подставим во второе уравнение:
[
a(15 - a) = 56.
]
Это уравнение:
[
-a^2 + 15a - 56 = 0 \implies a^2 - 15a + 56 = 0.
]
Находим дискриминант:
[
D = 15^2 - 4 \cdot 56 = 225 - 224 = 1.
]
Корни:
[
a_1 = \frac{15 + 1}{2} = 8, \quad a_2 = \frac{15 - 1}{2} = 7.
]
Ответ: Стороны прямоугольника ( 7 , \text{см} ) и ( 8 , \text{см} ).
Задача 5: Один из корней уравнения ( x^2 + 11x + q = 0 ) равен -7.
Согласно корням, вторым корнем будет:
Если ( x_1 = -7 ), то по формуле суммы корней:
[
-7 + x_2 = -11 \implies x_2 = -4.
]
Находим ( q ):
По формуле произведения корней:
[
(-7)(-4) = q \implies q = 28.
]
Ответ: Другой корень ( -4 ), свободный член ( q = 28 ).
Если у вас возникнут дополнительные вопросы или задания, не стесняйтесь спрашивать!
