Вариант 2 K-5 (§ 7, 8) 1. Решите уравнение: a) 3x2 + 13x - 10 = 0; b) 16x2 = 49; б) 2x2 - 3x = 0; г) x2 - 2x - 35 = 0. 2. Докажите тождество: 4x2 + 27x + 18 = (4x + 3)(x + 6). - -…

Давайте по порядку решим все предложенные задачи.

Задача 1: Решите уравнение

a) \( 3x^2 + 13x - 10 = 0 \)

Для решения квадратного уравнения можно применить формулу дискриминанта:

1. Вычисляем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289. \]

2. Находим корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + 17}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}, \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - 17}{6} = \frac{-30}{6} = -5. \]

Ответ: \( x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = -5 \).

b) \( 16x^2 = 49 \)

1. Переписываем уравнение: \[ 16x^2 - 49 = 0. \] Это уравнение можно решить методом разности квадратов: \[ (4x - 7)(4x + 7) = 0. \]

2. Находим корни: \[ 4x - 7 = 0 \implies x = \frac{7}{4}, \] \[ 4x + 7 = 0 \implies x = -\frac{7}{4}. \]

Ответ: \( x_1 = \frac{7}{4}, x_2 = -\frac{7}{4} \).

в) \( 2x^2 - 3x = 0 \)

1. Вынесем \( x \): \[ x(2x - 3) = 0. \]

2. Находим корни: \[ x = 0 \quad (корень\:из\:нулевого\:фактора), \] \[ 2x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2}. \]

Ответ: \( x_1 = 0, x_2 = \frac{3}{2} \).

г) \( x^2 - 2x - 35 = 0 \)

1. Находим дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4(1)(-35) = 4 + 140 = 144. \]

2. Находим корни: \[ x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = 7, \] \[ x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = -5. \]

Ответ: \( x_1 = 7, x_2 = -5 \).

Задача 2: Докажите тождество \( 4x^2 + 27x + 18 = (4x + 3)(x + 6) \)

1. Раскроем скобки на правой стороне: \[ (4x + 3)(x + 6) = 4x^2 + 24x + 3x + 18 = 4x^2 + 27x + 18. \]

2. Сравним обе стороны: Обе стороны равны, значит тождество доказано.

Задача 3: Сократите дробь

\[ \frac{2x + 2}{1} = \frac{2(x + 1)}{1} = 2(x + 1). \]

Задача 4: Периметр прямоугольника равен 30 см, площадь 56 см².

1. Формулы: Периметр \( P = 2(a + b) = 30 \implies a + b = 15 \).
   Площадь \( S = ab = 56 \).

2. Система уравнений: Из первого уравнения выразим \( b \): \[ b = 15 - a. \]

   Подставим во второе уравнение: \[ a(15 - a) = 56. \] Это уравнение: \[ -a^2 + 15a - 56 = 0 \implies a^2 - 15a + 56 = 0. \]

3. Находим дискриминант: \[ D = 15^2 - 4 \cdot 56 = 225 - 224 = 1. \]

4. Корни: \[ a_1 = \frac{15 + 1}{2} = 8, \quad a_2 = \frac{15 - 1}{2} = 7. \]

Ответ: Стороны прямоугольника \( 7 \, \text{см} \) и \( 8 \, \text{см} \).

Задача 5: Один из корней уравнения \( x^2 + 11x + q = 0 \) равен -7.

1. Согласно корням, вторым корнем будет: Если \( x_1 = -7 \), то по формуле суммы корней: \[ -7 + x_2 = -11 \implies x_2 = -4. \]

2. Находим \( q \): По формуле произведения корней: \[ (-7)(-4) = q \implies q = 28. \]

Ответ: Другой корень \( -4 \), свободный член \( q = 28 \).

Если у вас возникнут дополнительные вопросы или задания, не стесняйтесь спрашивать!