Найдите промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции у=х^3-3х^2/2

Для того чтобы найти промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции \( y = \frac{x^3 - 3x^2}{2} \), следует выполнить несколько шагов: ### Шаг 1: Найти производную функции Экстремумы функции могут быть найдены с помощью её производной. Начнем с нахождения производной: 1. Запишем функцию: \[ y = \frac{x^3 - 3x^2}{2} \] 2. Найдем производную: \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3 - 3x^2}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2) \] 3. Вычислим производную внутри скобок: \[ \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2) = 3x^2 - 6x \] 4. Таким образом, производная функции будет: \[ y' = \frac{1}{2}(3x^2 - 6x) = \frac{3x^2 - 6x}{2} \] ### Шаг 2: Найти критические точки Для нахождения критических точек установим производную равной нулю и решим уравнение: \[ \frac{3x^2 - 6x}{2} = 0 \] Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ 3x^2 - 6x = 0 \] Факторизуем уравнение: \[ 3x(x - 2) = 0 \] Таким образом, мы получаем два корня: \[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 2 \] ### Шаг 3: Определение признаков возрастания и убывания Для понимания, в каких интервалах функция возрастает или убывает, исследуем знак производной на интервалах: - \( (-\infty, 0) \) - \( (0, 2) \) - \( (2, +\infty) \) 1. **На интервале \( (-\infty, 0) \):** Выберем точку \( x = -1 \): \[ y'(-1) = \frac{3(-1)^2 - 6(-1)}{2} = \frac{3 + 6}{2} = \frac{9}{2} > 0 \] Функция возрастает на \( (-\infty, 0) \). 2. **На интервале \( (0, 2) \):** Выберем точку \( x = 1 \): \[ y'(1) = \frac{3(1)^2 - 6(1)}{2} = \frac{3 - 6}{2} = \frac{-3}{2} < 0 \] Функция убывает на \( (0, 2) \). 3. **На интервале \( (2, +\infty) \):** Выберем точку \( x = 3 \): \[ y'(3) = \frac{3(3)^2 - 6(3)}{2} = \frac{27 - 18}{2} = \frac{9}{2} > 0 \] Функция возрастает на \( (2, +\infty) \). ### Шаг 4: Определение экстремумов Теперь, зная, что функция возрастает на \( (-\infty, 0) \), убывает на \( (0, 2) \), и снова возрастает на \( (2, +\infty) \), мы можем найти экстремумы: - В точке \( x = 0 \) — это максимум (поскольку до этой точки функция возрастала, а после убывает). - В точке \( x = 2 \) — это минимум (поскольку до этой точки функция убывала, а после снова возрастает). ### Вывод - **Промежутки возрастания:** \( (-\infty, 0) \) и \( (2, +\infty) \) - **Промежуток убывания:** \( (0, 2) \) - **Экстремумы:** Максимум в \( x = 0 \) и минимум в \( x = 2 \) Теперь вы знаете, как находить промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции! Если остались дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.