найдите промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции у=х^3-3х^2/2
Для того чтобы найти промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции \( y = \frac{x^3 - 3x^2}{2} \), следует выполнить несколько шагов:
Шаг 1: Найти производную функции
Экстремумы функции могут быть найдены с помощью её производной. Начнем с нахождения производной:
Запишем функцию: \[ y = \frac{x^3 - 3x^2}{2} \]
Найдем производную: \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3 - 3x^2}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2) \]
Вычислим производную внутри скобок: \[ \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2) = 3x^2 - 6x \]
Таким образом, производная функции будет: \[ y' = \frac{1}{2}(3x^2 - 6x) = \frac{3x^2 - 6x}{2} \]
Шаг 2: Найти критические точки
Для нахождения критических точек установим производную равной нулю и решим уравнение:
\[ \frac{3x^2 - 6x}{2} = 0 \]
Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[ 3x^2 - 6x = 0 \]
Факторизуем уравнение:
\[ 3x(x - 2) = 0 \]
Таким образом, мы получаем два корня:
\[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 2 \]
Шаг 3: Определение признаков возрастания и убывания
Для понимания, в каких интервалах функция возрастает или убывает, исследуем знак производной на интервалах:
- \( (-\infty, 0) \)
- \( (0, 2) \)
- \( (2, +\infty) \)
На интервале \( (-\infty, 0) \): Выберем точку \( x = -1 \): \[ y'(-1) = \frac{3(-1)^2 - 6(-1)}{2} = \frac{3 + 6}{2} = \frac{9}{2} > 0 \] Функция возрастает на \( (-\infty, 0) \).
На интервале \( (0, 2) \): Выберем точку \( x = 1 \): \[ y'(1) = \frac{3(1)^2 - 6(1)}{2} = \frac{3 - 6}{2} = \frac{-3}{2} < 0 \] Функция убывает на \( (0, 2) \).
На интервале \( (2, +\infty) \): Выберем точку \( x = 3 \): \[ y'(3) = \frac{3(3)^2 - 6(3)}{2} = \frac{27 - 18}{2} = \frac{9}{2} > 0 \] Функция возрастает на \( (2, +\infty) \).
Шаг 4: Определение экстремумов
Теперь, зная, что функция возрастает на \( (-\infty, 0) \), убывает на \( (0, 2) \), и снова возрастает на \( (2, +\infty) \), мы можем найти экстремумы:
- В точке \( x = 0 \) — это максимум (поскольку до этой точки функция возрастала, а после убывает).
- В точке \( x = 2 \) — это минимум (поскольку до этой точки функция убывала, а после снова возрастает).
Вывод
- Промежутки возрастания: \( (-\infty, 0) \) и \( (2, +\infty) \)
- Промежуток убывания: \( (0, 2) \)
- Экстремумы: Максимум в \( x = 0 \) и минимум в \( x = 2 \)
Теперь вы знаете, как находить промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции! Если остались дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.
