Исследуйте функцию и постройте ее график. a) y= 2x^2 -4x^3; б) у=x^4+4x;

Для исследования функции и построения её графика, давайте разберём обе функции, указанные в задаче: ### a) \( y = 2x^2 - 4x^3 \) #### 1. Определение области определения: Функция является многочленом, и её область определения — все действительные числа: \( x \in (-\infty, +\infty) \). #### 2. Нахождение экстремумов: Для нахождения экстремумов, находим производную функции и приравниваем её к нулю: \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^2 - 4x^3) = 4x - 12x^2 \] Упрощаем и находим критические точки: \[ 0 = 4x(1 - 3x) \] Это уравнение равно нулю при \( x = 0 \) и \( x = \frac{1}{3} \). #### 3. Анализ критических точек: Находим значение функции в критических точках: - \( y(0) = 2(0)^2 - 4(0)^3 = 0 \) - \( y\left(\frac{1}{3}\right) = 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{3}\right)^3 = 2\frac{1}{9} - 4\frac{1}{27} = \frac{2}{9} - \frac{4}{27} = \frac{6}{27} - \frac{4}{27} = \frac{2}{27} \) #### 4. Проверка на максимумы и минимумы: Чтобы определить, являются ли эти критические точки минимумами или максимумами, находя вторую производную: \[ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(2x^2 - 4x^3) = 4 - 24x \] - Для \( x = 0 \): \( y''(0) = 4 - 0 = 4 > 0 \) (минимум) - Для \( x = \frac{1}{3} \): \( y''\left(\frac{1}{3}\right) = 4 - 8 = -4 < 0 \) (максимум) #### 5. Построение графика: - Минимум в точке \( (0, 0) \) - Максимум в точке \( \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{27}\right) \) График функции будет иметь форму, характерную для кубического полинома, с одной максимальной и одной минимальной точкой. --- ### б) \( y = x^4 + 4x \) #### 1. Определение области определения: Функция, как и предыдущая, является многочленом, и её область определения — все действительные числа: \( x \in (-\infty, +\infty) \). #### 2. Нахождение экстремумов: Находим производную: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 + 4x) = 4x^3 + 4 \] Приравняем к нулю: \[ 0 = 4(x^3 + 1) \Rightarrow x^3 + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \] #### 3. Анализ критической точки: Найдем значение функции в точке \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^4 + 4(-1) = 1 - 4 = -3 \] #### 4. Проверка на максимум или минимум: Находим вторую производную: \[ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(x^4 + 4x) = 12x^2 \] Для \( x = -1 \): \[ y''(-1) = 12(-1)^2 = 12 > 0 \] Это говорит нам о том, что в точке \( (-1, -3) \) находится минимум. #### 5. Построение графика: Функция будет иметь глобальный минимум в точке \( (-1, -3) \), и у множества значений \( y \) при \( x \to -\infty \) и \( x \to +\infty \) она будет возрастать, так как старший член положительный. --- ### Заключение Обе функции имеют свои характерные особенности в виде экстремумов и формирование графиков. Для их визуализации можно использовать графический калькулятор или программное обеспечение для построения графиков, где можно четко увидеть все найденные точки на графиках.