Решите систему уравнений: a) 2x-3y = 7, 15x+3y = 10. б) [x² + y² = 25, (x+ (x + y = 7.
Давайте решим вашу задачу, разделив её на две части: а) и б).
а) Решим систему уравнений:
Уравнения: \[ \begin{cases} 2x - 3y = 7 \quad (1) \\ 15x + 3y = 10 \quad (2) \end{cases} \]
Устранение одного из переменных: Мы можем сложить оба уравнения, чтобы избавиться от \( y \). Для этого сначала выразим \( y \) из первого уравнения: \[ 2x - 3y = 7 \implies 3y = 2x - 7 \implies y = \frac{2x - 7}{3} \]
Подставим выражение для \( y \) во второе уравнение: Подставим \( y \) в уравнение (2): \[ 15x + 3\left(\frac{2x - 7}{3}\right) = 10 \] Упростим это: \[ 15x + (2x - 7) = 10 \] \[ 15x + 2x - 7 = 10 \implies 17x - 7 = 10 \implies 17x = 17 \implies x = 1 \]
Теперь найдем \( y \): Подставим \( x = 1 \) в выражение для \( y \): \[ y = \frac{2(1) - 7}{3} = \frac{2 - 7}{3} = \frac{-5}{3} \]
Ответ: Решение системы уравнений: \[ x = 1, \quad y = -\frac{5}{3} \]
б) Решим систему уравнений:
Уравнения: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \quad (1) \\ x + y = 7 \quad (2) \end{cases} \]
Выразим \( y \) из второго уравнения: \[ y = 7 - x \]
Подставим \( y \) в первое уравнение: Подставим выражение для \( y \) в уравнение (1): \[ x^2 + (7 - x)^2 = 25 \]
Раскроем и упростим: \[ x^2 + (49 - 14x + x^2) = 25 \] \[ 2x^2 - 14x + 49 = 25 \] \[ 2x^2 - 14x + 24 = 0 \]
Упростим уравнение: Разделим все члены на 2: \[ x^2 - 7x + 12 = 0 \]
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \] Поскольку \( D > 0 \), уравнение имеет два различных корня: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 1}{2} \] \[ x_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{6}{2} = 3 \]
Найдем соответствующие значения \( y \): Для \( x_1 = 4 \): \[ y = 7 - 4 = 3 \] Для \( x_2 = 3 \): \[ y = 7 - 3 = 4 \]
Ответ: Решение системы уравнений: \[ (x, y) = (4, 3) \quad \text{или} \quad (3, 4) \]
Таким образом, мы решили обе части задачи, предоставив детальные объяснения и шаги. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны разъяснения, не стесняйтесь спрашивать!
