в геометрической прогрессии (xn): q= -1/3 ; n=5 ; Sn = 61/3 найдите x1 и xn
Чтобы решить задачу, начнем с анализа условия. У нас есть элементы геометрической прогрессии (ГП), где:
- \( q = -\frac{1}{3} \) — это знаменатель прогрессии (коэффициент).
- \( n = 5 \) — количество членов в прогрессии.
- \( S_n = \frac{61}{3} \) — сумма первых \( n \) членов.
Шаг 1: Формула суммы первых \( n \) членов ГП
Сумму первых \( n \) членов геометрической прогрессии можно вычислить по формуле:
\[ S_n = x_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} \]
Подставим известные значения в эту формулу.
Шаг 2: Подставляем известные значения
Сначала найдём \( q^n \):
\[ q^5 = \left(-\frac{1}{3}\right)^5 = -\frac{1}{243} \]
Теперь подставим в формулу суммы:
\[ \frac{61}{3} = x_1 \frac{1 - \left(-\frac{1}{243}\right)}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} \]
Преобразуем знаменатель:
\[ 1 - \left(-\frac{1}{3}\right) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \]
А теперь подставим в формулу:
\[ \frac{61}{3} = x_1 \frac{1 + \frac{1}{243}}{\frac{4}{3}} \]
Теперь вычислим \( 1 + \frac{1}{243} \):
\[ 1 + \frac{1}{243} = \frac{243 + 1}{243} = \frac{244}{243} \]
Таким образом, у нас есть:
\[ S_n = x_1 \cdot \frac{\frac{244}{243}}{\frac{4}{3}} = x_1 \cdot \frac{244 \cdot 3}{243 \cdot 4} \]
Теперь упростим выражение:
\[ S_n = x_1 \cdot \frac{732}{972} = x_1 \cdot \frac{61}{81} \]
Шаг 3: Находим \( x_1 \)
Теперь у нас есть:
\[ \frac{61}{3} = x_1 \cdot \frac{61}{81} \]
Теперь умножим обе стороны уравнения на \( \frac{81}{61} \) (предполагая, что \( x_1 \) не равен нулю):
\[ x_1 = \frac{61}{3} \cdot \frac{81}{61} \]
Упрощая, получаем:
\[ x_1 = \frac{81}{3} = 27 \]
Шаг 4: Находим \( x_n \)
Теперь, чтобы найти \( x_n \) (пятый член прогрессии):
\[ x_n = x_1 \cdot q^{n-1} = 27 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{4} \]
Сначала найдем \( \left(-\frac{1}{3}\right)^{4} = \frac{1}{81} \).
Теперь вычислим \( x_n \):
\[ x_n = 27 \cdot \frac{1}{81} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3} \]
Итоговые результаты
Мы нашли:
- \( x_1 = 27 \)
- \( x_n = \frac{1}{3} \)
Если у вас есть ещё вопросы или нужны дополнительные пояснения, не стесняйтесь спрашивать!
