В геометрической прогрессии (xn): q= -1/3 ; n=5 ; Sn = 61/3 найдите x1 и xn

Чтобы решить задачу, начнем с анализа условия. У нас есть элементы геометрической прогрессии (ГП), где: - \( q = -\frac{1}{3} \) — это знаменатель прогрессии (коэффициент). - \( n = 5 \) — количество членов в прогрессии. - \( S_n = \frac{61}{3} \) — сумма первых \( n \) членов. ### Шаг 1: Формула суммы первых \( n \) членов ГП Сумму первых \( n \) членов геометрической прогрессии можно вычислить по формуле: \[ S_n = x_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} \] Подставим известные значения в эту формулу. ### Шаг 2: Подставляем известные значения Сначала найдём \( q^n \): \[ q^5 = \left(-\frac{1}{3}\right)^5 = -\frac{1}{243} \] Теперь подставим в формулу суммы: \[ \frac{61}{3} = x_1 \frac{1 - \left(-\frac{1}{243}\right)}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} \] Преобразуем знаменатель: \[ 1 - \left(-\frac{1}{3}\right) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \] А теперь подставим в формулу: \[ \frac{61}{3} = x_1 \frac{1 + \frac{1}{243}}{\frac{4}{3}} \] Теперь вычислим \( 1 + \frac{1}{243} \): \[ 1 + \frac{1}{243} = \frac{243 + 1}{243} = \frac{244}{243} \] Таким образом, у нас есть: \[ S_n = x_1 \cdot \frac{\frac{244}{243}}{\frac{4}{3}} = x_1 \cdot \frac{244 \cdot 3}{243 \cdot 4} \] Теперь упростим выражение: \[ S_n = x_1 \cdot \frac{732}{972} = x_1 \cdot \frac{61}{81} \] ### Шаг 3: Находим \( x_1 \) Теперь у нас есть: \[ \frac{61}{3} = x_1 \cdot \frac{61}{81} \] Теперь умножим обе стороны уравнения на \( \frac{81}{61} \) (предполагая, что \( x_1 \) не равен нулю): \[ x_1 = \frac{61}{3} \cdot \frac{81}{61} \] Упрощая, получаем: \[ x_1 = \frac{81}{3} = 27 \] ### Шаг 4: Находим \( x_n \) Теперь, чтобы найти \( x_n \) (пятый член прогрессии): \[ x_n = x_1 \cdot q^{n-1} = 27 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{4} \] Сначала найдем \( \left(-\frac{1}{3}\right)^{4} = \frac{1}{81} \). Теперь вычислим \( x_n \): \[ x_n = 27 \cdot \frac{1}{81} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3} \] ### Итоговые результаты Мы нашли: - \( x_1 = 27 \) - \( x_n = \frac{1}{3} \) Если у вас есть ещё вопросы или нужны дополнительные пояснения, не стесняйтесь спрашивать!