Для решения задачи обозначим следующими переменными:
- ( v_1 ) — скорость первого теплохода (км/ч).
- ( v_2 ) — скорость второго теплохода (км/ч), где ( v_2 = v_1 + 3 ) (на 3 км/ч больше).
- ( t_1 ) — время в пути первого теплохода (часы).
- ( t_2 ) — время в пути второго теплохода (часы).
1. Условия задачи:
- Первый теплоход отправился в путь и двигался ( t_1 ) часов.
- Второй теплоход отправился через 3 часа позже, что означает, что он ехал ( t_2 = t_1 - 3 ) часов.
- Оба теплохода прибыли в пункт Б одновременно.
2. Расстояние:
- Расстояние между пристанями равно 154 км. Мы можем записать два уравнения для расстояния:
- Расстояние, проеханное первым теплоходом: ( v_1 \cdot t_1 = 154 )
- Расстояние, проеханное вторым теплоходом: ( v_2 \cdot t_2 = 154 )
3. Подстановка:
Подставим ( v_2 = v_1 + 3 ) и ( t_2 = t_1 - 3 ) во второе уравнение:
[
(v_1 + 3)(t_1 - 3) = 154
]
4. Первое уравнение:
Из первого уравнения выразим ( t_1 ):
[
t_1 = \frac{154}{v_1}
]
5. Замена во втором уравнении:
Теперь подставим ( t_1 ) во второе уравнение:
[
(v_1 + 3)\left(\frac{154}{v_1} - 3\right) = 154
]
6. Упрощение:
Упростим это уравнение:
[
(v_1 + 3)\left(\frac{154 - 3v_1}{v_1}\right) = 154
]
[
(154 - 3v_1)(v_1 + 3) = 154v_1
]
7. Раскрытие скобок:
[
154v_1 + 462 - 3v_1^2 - 9v_1 = 154v_1
]
8. Переносим все в одну сторону:
[
-3v_1^2 + 462 - 9v_1 = 0
]
[
3v_1^2 + 9v_1 - 462 = 0
]
9. Делим на 3:
[
v_1^2 + 3v_1 - 154 = 0
]
10. Находим корни уравнения:
Используем формулу корней квадратного уравнения:
[
v_1 = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a}
]
где ( a = 1, b = 3, c = -154 ):
[
b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-154) = 9 + 616 = 625
]
[
v_1 = \frac{{-3 \pm \sqrt{625}}}{2} = \frac{{-3 \pm 25}}{2}
]
11. Находим корень:
- ( v_1 = \frac{22}{2} = 11 ) (это положительная скорость)
- ( v_1 = \frac{-28}{2} = -14 ) (отрицательная скорость не подходит)
12. Определяем скорость второго теплохода:
Теперь находим ( v_2 ):
[
v_2 = v_1 + 3 = 11 + 3 = 14 \text{ км/ч}
]
Ответ: Скорость второго теплохода составляет 14 км/ч.
