Две параллелограмм ABCD. Укажите все пары равных векторов с концами в его вершинах. Сколько всего будет таких пар
Для понимания данной задачи начнем с определения параллелограмма и векторов.
Что такое параллелограмм?
Параллелограмм — это четырехугольник, в котором противоположные стороны равны и параллельны. В нашем случае это два параллелограмма ABCD и A'B'C'D', которые мы будем рассматривать.
Векторы в параллелограмме
Векторы — это объекты, способные описывать величину и направление. В параллелограммах мы будем рассматривать векторы, начинающиеся в одной вершине и оканчивающиеся в другой.
Определение векторов
Рассмотрим векторы, связывающие вершины параллелограммов. Обозначим:
- Векторы, соединяющие вершины ABCD:
- \(\vec{AB}\) – вектор от точки A к B
- \(\vec{BC}\) – вектор от точки B к C
- \(\vec{CD}\) – вектор от точки C к D
- \(\vec{DA}\) – вектор от точки D к A
Пары равных векторов
Для двух параллелограммов, векторы из одного параллелограмма могут быть сопоставлены с векторами из другого. Рассмотрим пары равных векторов:
Из первого параллелограмма ABCD можно построить следующие пары:
- \(\vec{AB} \text{ и } \vec{A'B'}\)
- \(\vec{BC} \text{ и } \vec{B'C'}\)
- \(\vec{CD} \text{ и } \vec{C'D'}\)
- \(\vec{DA} \text{ и } \vec{D'A'}\)
Подсчет равных векторов
Теперь у нас есть следующие пары:
- \(\vec{AB}\) = \(\vec{A'B'}\)
- \(\vec{BC}\) = \(\vec{B'C'}\)
- \(\vec{CD}\) = \(\vec{C'D'}\)
- \(\vec{DA}\) = \(\vec{D'A'}\)
Также, можно заметить, что векторы могут быть равны и в обратном направлении:
- \(\vec{AB} = -\vec{BA}\) и \(\vec{A'B'} = -\vec{B'A'}\), так что \(\vec{BA}\) = \(\vec{B'A'}\)
Таким образом, каждая пара векторов из одного параллелограмма может быть равна соответствующей паре из другого параллелограмма в возвращенном направлении.
Итоговый подсчет
Итак, нам следует подсчитать все уникальные пары равных векторов:
- \(\vec{AB} \leftrightarrow \vec{A'B'}\)
- \(\vec{BC} \leftrightarrow \vec{B'C'}\)
- \(\vec{CD} \leftrightarrow \vec{C'D'}\)
- \(\vec{DA} \leftrightarrow \vec{D'A'}\)
Это дает 4 пары, а учитывая направление (прямое и обратное) — дополнительно 4, что в итоге составит:
4 (прямые) + 4 (обратные) = 8 пар.
Ответ
Итак, всего будет 8 пар равных векторов.
