Найдите три последовательных чётных числа, если известно, что сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего числа.
Для решения задачи найдем три последовательных четных числа. Обозначим их как \(x\), \(x + 2\) и \(x + 4\), где \(x\) — первое четное число.
Согласно условию, сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего числа:
\[ x^2 + (x + 2)^2 = (x + 4)^2 \]
Теперь раскроем скобки:
Левую часть: \[ x^2 + (x^2 + 4x + 4) = 2x^2 + 4x + 4 \]
Правую часть: \[ (x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16 \]
Теперь равенство принимает вид:
\[ 2x^2 + 4x + 4 = x^2 + 8x + 16 \]
Теперь перенесем все на одну сторону уравнения:
\[ 2x^2 + 4x + 4 - x^2 - 8x - 16 = 0 \]
Соберем подобные слагаемые:
\[ x^2 - 4x - 12 = 0 \]
Это квадратное уравнение можно решить различными способами (например, через дискриминант). Найдем дискриминант \(D\):
\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 \]
Теперь найдем корни уравнения по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 8}{2} \]
Теперь вычислим оба корня:
Первый корень: \[ x_1 = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]
Второй корень: \[ x_2 = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]
Теперь найдем последовательные четные числа, используя корни:
- Если \(x = 6\), числа будут \(6\), \(8\), \(10\).
- Если \(x = -2\), числа будут \(-2\), \(0\), \(2\).
Таким образом, нами найдены два набора последовательных четных чисел: \(6, 8, 10\) и \(-2, 0, 2\).
Проверим правильность первого набора:
- \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)
- \(10^2 = 100\)
С условием они выполняются.
Таким образом, ответом являются последовательные четные числа: \(6, 8, 10\) или \(-2, 0, 2\).
