1 задание

Давайте разберем каждую задачу по порядку.

Задача 1:

На чертеже обозначите два вектора, равных \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Постройте векторы, равные:

Чтобы построить векторы, равные данным, нужно скопировать их по длине и направлению. Векторы считаются равными, если они равны по величине и направлению.

1. \(\vec{a} + \vec{b}\):
   Постройте сначала \(\vec{a}\), затем от его конца отложите вектор \(\vec{b}\). Итоговый вектор от начала \(\vec{a}\) до конца \(\vec{b}\) — это \(\vec{a} + \vec{b}\).

2. \(\vec{a} - \vec{b}\):
   Чтобы вычесть \(\vec{b}\), возьмите его в противоположном направлении (инвертируйте вектор по направлению) и затем сложите с \(\vec{a}\): \(\vec{a} + (-\vec{b})\).

Задача 2:

На стороне \(BC\) ромба \(ABCD\) лежит точка \(K\), такая что \(BK = KC_0\). Точка \(O\) — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\vec{AO}\), \(\vec{AK}\) через векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\).

Поскольку \(\vec{K}\) находится на середине стороны \(BC\), мы можем сказать:

• \(\vec{AK} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC}\)

Используем свойство симметрии в ромбе: \(\vec{BC}\) может быть выражено через диагонали как \(\vec{BC} = \vec{AD} - \vec{AB}\). Таким образом:

• \(\vec{AK} = \vec{AB} + \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{AB})\)
• \(\vec{AK} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD})\)

Вектор \(\vec{AO}\) — это соединение половин диагоналей:

• \(\vec{AO} = \frac{1}{2} \vec{AC}\)

Задача 3:

В равнобедренной трапеции высота делит большие основания на отрезки, равные \(5\) и \(12\) см. Найдите среднюю линию трапеции.

Средняя линия трапеции (линия, соединяющая середины боковых сторон) равна полусумме оснований. Основания равны \(5 + 12 = 17\) см, следовательно:

• Средняя линия \(m = \frac{12 + 5}{2} = 8.5\) см

Задача 4:

В треугольнике \(ABC\) \(O\) — точка пересечения медиан. Выразите вектор \(\vec{AO}\) через векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\).

Точка пересечения медиан — это центр тяжести треугольника и делит каждую медиану в отношении \(2:1\). Если \(\vec{G}\) — это центр тяжести, то

• \(\vec{AO} = \frac{2}{3}\vec{AM}\)

Где \(M\) — середина отрезка \(BC\):

• \(\vec{M} = \frac{1}{2}(\vec{B} + \vec{C})\)

Значит,

• \(\vec{AO} = \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})\right)\)
• \(\vec{AO} = \frac{1}{3} (\vec{AB} + \vec{AC})\)

Если нужны дополнительные разъяснения или помощь с другой задачей, дайте знать!