При каком значении параметра а сумма квадратов корней урав- нения х? +(2-а)х-а-3=0 наименьшая? Найдите ее.

Для того чтобы решить задачу, давайте разберем уравнение и найдем сумму квадратов корней. Уравнение имеет вид:

\[ x^2 + (2 - a)x - (a + 3) = 0 \]

Это уравнение квадратное, и для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) сумма корней \(x_1\) и \(x_2\) определяется по формуле:

\[ S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \]

а произведение корней:

\[ P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \]

При этом сумма квадратов корней может быть выражена через сумму и произведение корней, используя следующую формулу:

\[ S^2 - 2P \]

В нашей задаче:

• \(a = 1\) (коэффициент при \(x^2\)),
• \(b = 2 - a\),
• \(c = -(a + 3)\).

Таким образом, сумма корней будет:

\[ S = -\frac{2 - a}{1} = a - 2 \]

а произведение:

\[ P = \frac{-(a + 3)}{1} = - (a + 3). \]

Теперь подставим эти выражения в формулу для суммы квадратов корней:

\[ S^2 - 2P = (a - 2)^2 - 2(- (a + 3)). \]

Упрощая это выражение, получаем:

\[ (a - 2)^2 + 2(a + 3). \]

Раскроем скобки:

\[ (a - 2)^2 = a^2 - 4a + 4 \]

и

\[ 2(a + 3) = 2a + 6. \]

Теперь объединим все:

\[ a^2 - 4a + 4 + 2a + 6 = a^2 - 2a + 10. \]

Теперь необходимо минимизировать это выражение \(a^2 - 2a + 10\). Это квадратный трёхчлен, и его минимум достигается в вершине параболы. Координаты вершины находятся по формуле:

\[ a = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1. \]

Теперь подставим \(a = 1\) в уравнение, чтобы найти наименьшую сумму квадратов корней:

\[ (1)^2 - 2(1) + 10 = 1 - 2 + 10 = 9. \]

Таким образом, наименьшее значение суммы квадратов корней уравнения достигается при \(a = 1\) и равно 9.

Ответ: Наименьшее значение суммы квадратов корней уравнения — 9, при \(a = 1\).