Для того чтобы решить задачу, давайте разберем уравнение и найдем сумму квадратов корней. Уравнение имеет вид:
[
x^2 + (2 - a)x - (a + 3) = 0
]
Это уравнение квадратное, и для квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0) сумма корней (x_1) и (x_2) определяется по формуле:
[
S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
]
а произведение корней:
[
P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
]
При этом сумма квадратов корней может быть выражена через сумму и произведение корней, используя следующую формулу:
[
S^2 - 2P
]
В нашей задаче:
- (a = 1) (коэффициент при (x^2)),
- (b = 2 - a),
- (c = -(a + 3)).
Таким образом, сумма корней будет:
[
S = -\frac{2 - a}{1} = a - 2
]
а произведение:
[
P = \frac{-(a + 3)}{1} = - (a + 3).
]
Теперь подставим эти выражения в формулу для суммы квадратов корней:
[
S^2 - 2P = (a - 2)^2 - 2(- (a + 3)).
]
Упрощая это выражение, получаем:
[
(a - 2)^2 + 2(a + 3).
]
Раскроем скобки:
[
(a - 2)^2 = a^2 - 4a + 4
]
и
[
2(a + 3) = 2a + 6.
]
Теперь объединим все:
[
a^2 - 4a + 4 + 2a + 6 = a^2 - 2a + 10.
]
Теперь необходимо минимизировать это выражение (a^2 - 2a + 10). Это квадратный трёхчлен, и его минимум достигается в вершине параболы. Координаты вершины находятся по формуле:
[
a = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1.
]
Теперь подставим (a = 1) в уравнение, чтобы найти наименьшую сумму квадратов корней:
[
(1)^2 - 2(1) + 10 = 1 - 2 + 10 = 9.
]
Таким образом, наименьшее значение суммы квадратов корней уравнения достигается при (a = 1) и равно 9.
Ответ: Наименьшее значение суммы квадратов корней уравнения — 9, при (a = 1).
